Cho \(n\inℕ^∗\)CMR
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{\left(n+1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 9 2019
\(\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\left(n+1\right)^2}}=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
\(\Rightarrow\frac{n^2\left(n+1\right)^2+\left(n+1\right)^2+n^2}{n^2\left(n+1\right)^2}=\frac{[\left(n+1\right)^2-n]^2}{n^2\left(n+1\right)^2}\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)^4+n^2=\left(n+1\right)^4-2\left(n+1\right)^2n+n^2\)
\(\Rightarrow0=-2\left(n+1\right)^2n\)
\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}\left(n+1\right)^2=0\\n=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=-1\\n=0\end{cases}}\) mà \(n\inℕ^∗\)
=> n\(\in\varnothing\)
17 tháng 6 2016
Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:
\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:
\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)
17 tháng 6 2016
Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
\(\sqrt{\left(1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)^2-2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{n+1}\right)}\)
=1+1/n-1/n+1
chúc bn hoc tốt