\(\text{f(x) = }ax^2+bx+c,a\ne0\text{ có 2 nghiệm phân biệt }x_1,x_2\text{ thì x_1+x_2=}-\frac{b}{a},x_1x_2=\frac{c}{a}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình chưa học cách chứng minh mệnh đề nhưng mk chứng minh được hệ thức Vi-et:
\(ax^2+bx+c=0\)
\(\Delta=b^2-4ac\)
để phương trình có 2 nghiệm thì \(\Delta\ge0\)
\(\Rightarrow b^2-4ac\ge0\)
phương trình có 2 nghiệm là
\(x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Ta có
\(x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}\)
\(x_1.x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(=\frac{\left(-b+\sqrt{\Delta}\right).\left(-b-\sqrt{\Delta}\right)}{2a.2a}\)
\(=\frac{b^2-\Delta}{4a^2}\)
\(=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}\)
\(=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}\)
x1 ; x2 là 2 ngiệm của P(x) => P(x1) = P (x2) = 0
=> ax12 + bx1 + c = ax22 + bx2 + c = 0
=> ax12 + bx1 + c - ( ax22 + bx2 + c) = 0
<=> a. (x12 - x22 ) + b.(x1 - x2) = 0 <=> a. (x1 - x2). (x1 + x2) + b.(x1 - x2) = 0
<=> (x1 - x2). [ a.(x1 + x2) + b ] = 0 mà x1 ; x2 khác nhau nên a.(x1 + x2) + b = 0 => b = - a.(x1 + x2) (*)
+) ax12 + bx1 + c = 0 => c = - ( ax12 + bx1) = - x1. (ax1 + b) = - x1 . (-ax2) = ax1. x2 (Do (*))
vậy c = ax1.x2 (**)
Thay b ; c từ (*) và (**) vào P(x) ta được P(x) = ax2 -ax.(x1 + x2) + ax1.x2 = ax2 - ax.x1 - ax.x2 + ax1.x2
= ax. (x - x1) - ax2 . (x - x1) = (ax - ax2). (x - x1) = a. (x - x2). (x - x1) => ĐPCM
Theo hệ thức Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2>0\\x_1x_2=\dfrac{1}{4}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1>0\\x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x_1\right|=x_1\\\left|x_2\right|=x_2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{x_1\left|x_1\right|-x_2\left|x_2\right|}{x_1^3-x_2^3}=\dfrac{x_1^2-x_2^2}{x_1^3-x_2^3}=\dfrac{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)}\)
\(=\dfrac{x_1+x_2}{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}=\dfrac{x_1+x_2}{\left(x_1+x_2\right)^2-x_1x_2}\)
\(=\dfrac{2}{2^2-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{8}{15}\)
`a) 7x^2 - 2x + 3 = 0`
`(a = 7; b = -2; c = 3)`
`Δ = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4.7.3 = -80 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`b) 6x^2 + x + 5 = 0`
`(a = 6;b = 1;c = 5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.5 = -119 < 0`
`=>` phương trình vô nghiệm
`c) 6x^2 + x - 5 = 0`
`(a = 6;b=1;c=-5)`
`Δ = b^2 - 4ac = 1^2 - 4.6.(-5) = 121 > 0`
`=>` phương trình có 2 nghiệm phân biệt
`x_1 = (-b + sqrt{Δ})/(2a) = (-1+ sqrt{121})/(2.6) = (-1+11)/12 = 10/12 = 5/6`
`x_2 = (-b - sqrt{Δ})/(2a) = (-1- sqrt{121})/(2.6) = (-1-11)/12 = -12/12 = -1`
Vậy phương trình có 1 nghiệm `x_1 = 5/6; x_2 = -1`
Áp dụng định lí viet: \(x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1.x_2=\frac{c}{a}\)
\(ax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1.x_2\right)=a\left[\left(x^2-x_1.x\right)-\left(x_2x-x_1x_2\right)\right]\)
=\(a\left[x\left(x-x_1\right)-x_2\left(x-x_1\right)\right]=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)