Cho a và b là các số dương thỏa mãn \(a+b\le1\)
CMR M=\(ab+\frac{1}{ab}\ge\frac{17}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
E
4
8 tháng 9 2017
\(ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-15ab=8-15ab\)
Lại có:
\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(BĐT phụ này bn tự CM)
\(\Rightarrow8-15ab\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
T
7 tháng 8 2019
BĐT <=> \(\frac{2}{a^2+2}+\frac{2}{b^2+2}+\frac{2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{a^2}{a^2+2}+1-\frac{b^2}{b^2+2}+1-\frac{c^2}{c^2+2}\le2\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a^2+2}+\frac{b^2}{b^2+2}+\frac{c^2}{c^2+2}\ge1\)
Theo BĐT Svacxo:
\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)}{a^2+b^2+c^2+6}=\frac{a^2+b^2+c^2+6}{a^2+b^2+c^2+6}=1\)
Vậy ta có đpcm.
P/s: Đúng ko ta?
28 tháng 3 2019
Cosi + Svac-xơ
Có : \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\)
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}+\frac{1}{4-\sqrt{bc}}+\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{1}{4-\frac{a+b}{2}}+\frac{1}{4-\frac{b+c}{2}}+\frac{1}{4-\frac{c+a}{2}}\)
\(=-\left(\frac{1}{\frac{a+b}{2}-4}+\frac{1}{\frac{b+c}{2}-4}+\frac{1}{\frac{c+a}{2}-4}\right)\le\frac{-\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c-12}=\frac{-9}{3-12}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
30 tháng 6 2020
Vào TKHĐ của mình xem hình ảnh cho tiện nhé !
đây là câu trả lời của mình nha ! Tránh bị phàn nàn là copy
Cách khác:
\(ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\)
\(\ge2\sqrt{16ab.\frac{1}{ab}}-\frac{15}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\ge8-\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Equality holds when \(a=b=\frac{1}{2}\)(đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\))
\(M=ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{16ab}}+\frac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\frac{1}{2}+\frac{15}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "'=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)