Cho : \(a^2+b^2+c^2=1\)
Chứng minh : \(1+3abc\ge a^3+b^3+c^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
0
DL
8
9 tháng 6 2019
a, a2+b2\(\ge\)2ab
a2+1\(\ge\)2a
b2+1\(\ge\)2b
=> a2+b2+1\(\ge\)ab+a+b
9 tháng 6 2019
Ta có a+b+c=0
=> a+b=-c
=> (a+b)3=(-c)3=> a3+b3+c3=-3ab(a+b=-3ab.-c=3abc
Vậy a3+b3+c3=3abc
17 tháng 1 2020
a) \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\left(1\right)\)
Ta thấy \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a,b\\\left(a-1\right)^2\ge0;\forall a,b\\\left(b-1\right)^2\ge0;\forall a,b\end{cases}}\)\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0;\forall a,b\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\)luôn đúng
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\a=1\\b=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=1\)
Vậy... ( bạn ko cần phải ghi dấu bằng xảy ra cũng đúng nhé )
b) Xét hieuj \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=0\)( vì a+b+c=0 )
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\left(đpcm\right)\)
30 tháng 12 2022
3: =>a^3+b^3+c^3>=3abc
=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc>=0
=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)>=0
=>a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac>=0
=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac>=0
=>(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2>=0(luôn đúng)
17 tháng 12 2022
\(a+b+c=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{ab}=3\)
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ac}=9\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+2\cdot3=9\)
Vậy \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\).
HA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 7 2021
Ta có:
\(a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\right)-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-c\left(a+b\right)+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(2a^2+2b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\) (đpcm)
Em ko chắc đâu nha! Mới học dạng này thôi ak.. Với cả em phải thêm đk mới giải đc:(
Thêm đk a, b, c > 0
Đặt \(\left(a+b+c;ab+bc+ca;abc\right)=\left(p;q;r\right)\) thì \(p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)
Cần chứng minh: \(1+3r\ge p^3-3pq+3r\Leftrightarrow p^3-3pq\le1\)(*)
Ta có \(LHS_{\text{(*)}}=p\left(p^2-2q-q\right)=p\left(1-q\right)=p\left(1-\frac{p^2-1}{2}\right)\)
\(=p-\frac{p^3-p}{2}=\frac{3p-p^3}{2}=\frac{-\left(p-1\right)^2\left(p+2\right)}{2}+1\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi (a;b;c) = (0;0;1) và các hoán vị của nó (em chả biết giải thích thế nào nữa:(
À không cần đk a, b, c > 0. Vì ta có:
\(1=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\Rightarrow3\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{3}\ge a+b+c\ge-\sqrt{3}>-2\)
Như vậy \(a+b+c+2>0\Rightarrow p+2>0\) và bđt cuối là đúng!