Chứng minh rằng: C = 1/3+2/3^2+3/3^3+....+100/3^100 C <1/4
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a>
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{100^2}\)=1/4+1/10000
ta có 1/4<1/2(vì 2 đề bài muốn chứng minh tổng đó nhỏ 1 thì chúng ta phải xét xem có bao nhiêu lũy thừa hoặc sht thì ta sẽ lấy 1 : cho số số hạng )
1/100^2<1/2
=>A<1
\(C=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{100}{3^{100}}\)
\(3C=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{100}{3^{99}}\)
\(3C-C=\left(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{3^3}+...+\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(2C=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(6C=3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)
\(6C-2C=\left(3+1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(4C=3-\frac{100}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)
\(4C=3-\frac{300}{3^{100}}-\frac{3}{3^{100}}+\frac{100}{3^{100}}\)
\(4C=3-\frac{203}{3^{100}}< 3\)
\(\Rightarrow C< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)
1)\(3C=1+\frac{2}{3}+...+\frac{100}{3^{99}}\)
\(3C-C=\left(1+\frac{2}{3}+...+\frac{100}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+...+\frac{100}{3^{100}}\right)\)
\(2C=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
Đặt \(M=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\)
\(3M=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\)
\(3M-M=\left(3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}\right)-\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}\right)\)
\(2M=3-\frac{1}{3^{99}}\)
\(M=\frac{3}{2}-\frac{1}{3^{99}\cdot2}\)
\(\Rightarrow2C=M-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2C=\frac{3}{2}-\frac{1}{3^{99}\cdot2}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow2C< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow C< \frac{3}{4}\)
\(A=3+3^2+3^3+...+3^{100}\)
\(\Leftrightarrow3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^{101}\)
\(\Leftrightarrow3A-A=\left(3^2+3^3+3^4+3^5+...+3^{101}\right)-\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{100}\right)\)
\(\Leftrightarrow2A=3^{101}-3\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{3^{101}-3}{2}< 3^{100}-1\)
\(\Leftrightarrow A< B\)
a. tính A = 3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100
3A=3^2+3^3+3^4+3^5+....+3^100
3A-A=(3^2+3^3+3^4+....+3^101)-(3+3^2+3^3+3^4+.....+3^100)=3^101-3=3^100
mà B=3^100-1 => A<B
Đặt \(S=\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)
\(\Rightarrow3S=1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\\ S+3S=\left(\frac{1}{3}-\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}-...+\frac{99}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\right)+\left(1-\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}-...+\frac{99}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\right)\\ 4S=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{100}}\\ \Rightarrow12S=3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...-\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\\ 12S+4S=\left(3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3^2}+...-\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\right)+\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{100}}\right)\\ 16S=3-\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{99}}-\frac{1}{3^{100}}\\ S=\frac{3-\frac{2}{3^{99}}-\frac{1}{3^{100}}}{16}< \frac{3}{16}\left(đpcm\right)\)
ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết
ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết ko biết
Bạn cộng biểu thức trong ngoặc của vế trái với vế phải là ra 100
Ta có:
\(100-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=...+\frac{1}{100}\right)\)
\(=\left(1-1\right)+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1-\frac{1}{100}\right)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+...+\frac{99}{100}\)
Đề bạn sai rồi nha !
Trong tổng \(C\) có số hạng \(\frac{1}{3}>\frac{1}{4}\) mà tổng trên không có số hạng nào âm nên \(C>\frac{1}{4}\) nha !
Bạn xem lại đề thử đi !
Sửa đề : Chứng minh rằng :
\(C=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}< \frac{3}{4}\)
Ta có : \(C=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+\frac{4}{3^4}+...+\frac{99}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)
nên \(3C=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{4}{4^3}+...+\frac{99}{3^{98}}+\frac{100}{3^{99}}\)
Do đó : \(2C=3C-C=1+\left[\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{98}}+\frac{1}{3^{99}}\right]-\frac{100}{3^{100}}\)
Biểu thức trong dấu ngoặc nhỏ hơn \(\frac{1}{2}\)nên \(2C< 1+\frac{1}{2}\)
=> \(2C< \frac{3}{2}\)
=> \(C< \frac{3}{4}\)