CMR với a ≥ 0, b ≥ 0 thì \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\) ≤ \(\frac{a^3+b^3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
VT
14 tháng 3 2018
ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)
Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)
Tương tự, ta có
\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)
Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)
Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)
=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)
=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0
NT
1
ND
23 tháng 7 2019
Có: \(\frac{a^3}{a^2+b^2}=a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2ab}=a-\frac{b}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b^3}{b^2+c^2}\ge b-\frac{c}{2}\)
\(\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge c-\frac{a}{2}\)
Cộng vế theo vế:
\(VT\ge a+b+c-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
10 tháng 8 2018
\(\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}=\frac{a^4}{ab+ac}+\frac{b^4}{bc+ab}+\frac{c^4}{ac+bc}\)
\(\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}\)
T
10 tháng 7 2019
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?
Có \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{a^3+b^3}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-a^2+ab-b^2\right)\le0\)
<=>\(\frac{a+b}{2}\left(\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{2a^2-2ab+b^2}{2}\right)\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2-2a^2+2ab-2b^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{-\left(a-b\right)^2}{2}\le0\)
<=> \(\frac{a+b}{2}.\frac{\left(a-b\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng với mọi a,b \(\ge\)0)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a,b\ge0\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\frac{a+b}{2}.\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^3+b^3}{2}\)