Tìm giá trị nguyên dương x,y,z biết :
\(\frac{xyz+x+z}{yz+1}=\frac{2012}{212}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
27 tháng 7 2021
Ta có: \(P=\frac{\sqrt{x}}{1+x+xy}+\frac{\sqrt{y}}{1+y+yz}+\frac{\sqrt{z}}{1+z+xz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{x+xy+xyz}+\frac{xy\sqrt{z}}{xy+xyz+x^2yz}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}}{xy+x+1}+\frac{x\sqrt{y}}{xy+x+1}+\frac{\sqrt{xy}.\sqrt{xyz}}{xy+x+1}\)
\(P=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{xy}}{xy+x+1}\le\frac{\frac{x+1}{2}+\frac{x\left(y+1\right)}{2}+\frac{xy+1}{2}}{xy+x+1}\) (bđt cosi)
=> \(P\le\frac{x+1+xy+x+xy+1}{2\left(xy+x+1\right)}=\frac{2\left(xy+x+1\right)}{2\left(xy+x+1\right)}=1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x = y = z = 1
Vậy MaxP = 1 <=> x = y = z = 1
K
11 tháng 9 2021
Ta có \(\frac{x+2xy+1}{x+xy+xz+1}=\frac{x+2xy+xyz}{x+xy+xz+xyz}=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
Tương tự => \(M=\frac{1+2y+yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2z+zx}{\left(1+x\right)\left(z+1\right)}+\frac{1+2x+xy}{\left(1+x\right)\left(y+1\right)}\)
=> \(M=\frac{\left(1+2y+yz\right)\left(1+x\right)+\left(1+2z+zx\right)\left(1+y\right)+\left(1+2x+xy\right)\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
=>\(M=\frac{6+3\left(x+y+z\right)+3\left(xy+yz+xz\right)}{2+\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+xz\right)}=3\)
LM
13 tháng 5 2017
\(xy+yz+zx-xyz=1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz\)
\(=\left(1-x\right)-y\left(1-x\right)-z\left(1-x\right)+yz\left(1-x\right)\)
\(=\left(1-x\right)\left(1-y-z+yz\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\)
\(xy+yz+zx+xyz+2=1+x+y+z+xy+yz+zx+xyz\)
\(=\left(1+x\right)+y\left(1+x\right)+z\left(1+x\right)+yz\left(1+x\right)\)
\(=\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\)
\(1+x+y+z=1+1\Rightarrow1+x=\left(1-y\right)+\left(1-z\right)\ge2\sqrt{\left(1-y\right)\left(1-z\right)}\)
Tương tự ta cũng có: \(1+y\ge2\sqrt{\left(1-z\right)\left(1-x\right)}\)
\(1+z\ge2\sqrt{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\)
Vậy \(S\le\frac{\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}{8\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\frac{1}{8}\)
OH
1
MK
7 tháng 3 2019
TA CÓ \(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{y}{yz+y+1}\)+\(\frac{z}{xz+z+1}\)
=\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xyz+xy+x}\)+\(\frac{xyz}{x^2yz+xyz+xy}\)
=\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xy+x+1}\)+\(\frac{1}{xy+x+1}\)(vì xyz=1)
=\(\frac{x+xy+1}{xy+x+1}\)
= 1
PN
8 tháng 1 2021
chia cả 2 vế của giả thiết cho xyz rồi đặt 1/x ; 1/y ; 1/z => a ; b ; c
đến đây thì tự làm tiếp đi
27 tháng 2 2016
\(xy+xz+yz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
bây giờ ta đi chứng minh bđt phụ:
với \(a_1;a_2;...;a_8>0\) ta có: \(a_1+a_2+...+a_8\ge8\sqrt[8]{a_1a_2...a_8}\)(Cô si)
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge8\sqrt[8]{\frac{1}{a_1a_2...a_8}}\)
Nhân vế với vế ta đc:
\(\left(a_1+a_2+...+a_8\right)\left(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\right)\ge64\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_8}\ge\frac{64}{a_1+a_2+...+a_8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a1=a2=..=a8
a/d bđt trên ta có:
\(\frac{64}{4x+3y+z}=\frac{64}{x+x+x+x+y+y+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
a/d tương tự với 2 cái còn lại rồi cộng vế với vế ; thay tổng 1/x+1/y+1/z=1 là xong nhé
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
Có \(\frac{xyz+x+z}{yz+1}=\frac{2012}{212}\) <=> \(\frac{x\left(yz+1\right)+z}{yz+1}=\frac{2012}{212}\)
<=> \(x+\frac{z}{yz+1}=\frac{503}{53}\)
<=> \(x+\frac{1}{\frac{yz+1}{z}}=\frac{503}{53}\)
<=> \(x+\frac{1}{y+\frac{1}{z}}=9+\frac{1}{2+\frac{1}{26}}\)
Vì PT trên chỉ có duy nhất và x,y,z nguyên dương
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=2\\x=26\end{matrix}\right.\)
Vậy (x,y,z) \(\in\left\{\left(9,2,26\right)\right\}\)