K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019

Bài 2:
Với $x,y,z$ nguyên dương ta thấy:

\((x+y)^2+3x+y+1> (x+y)^2(1)\)

Và:

\((x+y)^2+3x+y+1< (x+y)^2+4(x+y)+4\)

hay $(x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2(2)$

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y)^2< (x+y)^2+3x+y+1< (x+y+2)^2\)

\(\Leftrightarrow (x+y)^2< z^2< (x+y+2)^2\)

Theo nguyên lý kẹp suy ra $z^2=(x+y+1)^2$

$\Leftrightarrow (x+y)^2+3x+y+1=(x+y+1)^2$

$\Leftrightarrow x=y$

Thay vào PT ban đầu:

\((2x)^2+3x+x+1=z^2\Leftrightarrow (2x+1)^2=z^2\Rightarrow 2x+1=z\) (không có TH $2x+1=-z$ do $x,z$ cùng nguyên dương)

Vậy PT có nghiệm $(x,y,z)=(m,m,2m+1)$ với $m$ là số nguyên dương bất kỳ.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 8 2019

Lời giải:

Xét

PT \(\Leftrightarrow x^3=y^3+2y^2+3y+1\)

Ta thấy:

\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3+3y^2+3y+1)-y^2=(y+1)^3-y^2\leq (y+1)^3(1)\)

\(y^3+2y^2+3y+1=(y^3-3y^2+3y-1)+5y^2+2=(y-1)^3+5y^2+2\)

\(>(y-1)^3(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (y+1)^3\geq y^3+2y^2+3y+1> (y-1)^3\)

\(\Leftrightarrow (y+1)^3\geq x^3> (y-1)^3\)

Theo nguyên lý kẹp thì \(\left[\begin{matrix} x^3=(y+1)^3\\ x^3=y^3\end{matrix}\right.\)

Nếu \(x^3=(y+1)^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=(y+1)^3\)

\(\Leftrightarrow y=0\)

\(\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1\)

Nếu \(x^3=y^3\Leftrightarrow y^3+2y^2+3y+1=y^3\)

\(\Leftrightarrow 2y^2+3y+1=0\Leftrightarrow (2y+1)(y+1)=0\Rightarrow y=-1\) (do $y$ nguyên)

$\Rightarrow x^3=y^3=-1\Rightarrow x=-1$

Vậy $(x,y)=(1,0); (-1,-1)$

13 tháng 4 2019

adult pron

13 tháng 4 2019

ko giải thì thôi mình tích sai mỗi ngày 3 cái đó 

18 tháng 9 2017

Kushito Kamigaya tham khảo nhé:

x² + (x+y)² = (x+9)² 
<=> (x+y)² = (x+9)² - x² 
<=> (x+y)² = 9(2x+9) (*) 
Vì: 9 = 3² nên từ (*) ta thấy (2x+9) phải là số chính phương 
=> 2x+9 = n² => 2x = (n-3)(n+3) => x = (n-3)(n+3)/2 
n-3 và n+3 cùng chẳn hoặc cùng lẽ, nên x nguyên dương khi n là số lẽ lớn hơn 3 
đặt n = 2k+1 với k > 1, (k nguyên) 
có: 2x + 9 = (2k+1)² = 4k²+4k+1 
=> x = 2k²+2k-4, thay x vào (*) 

(x+y)² = 9(2k+1)² => x+y = 3(2k+1) = 6k+3 => y = 6k+3-x 
=> y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = -2k² + 4k + 7 > 0 
=> k² - 2k < 7/2 => (k-1)² < 7/2+1 = 9/2 
=> k-1 < 3/√2 => k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3 
với đk k > 1 ở trên ta chỉ chọn được k = 2 hoặc k = 3 

*k = 2 => x = 8, y = 7 

*k = 3 => x = 20, y = 1

3 tháng 8 2016

Vai trò của \(x;y;z;t\)như nhau nên ta coi \(x\ge y\ge z\ge t\)

\(\Rightarrow2xyzt=5\left(x+y+z+t\right)+15\le20x+15\)

\(\Rightarrow xyzt\le10x+3\)

\(x\ge1\)( nguyên dương )

\(\Rightarrow yzt\le13\)

\(\Rightarrow3t\le13\)

\(\Rightarrow t\le4\)

  • Với \(t=1:\)

\(2xyz.1=5\left(x+y+z+1\right)+15\)

\(2xyz=5\left(x+y+z\right)+20\le15x+20\)

\(\Rightarrow2yz\le35\)

\(\Rightarrow2.2z\le35\left(y\ge z\right)\)

\(\Rightarrow z\le8\)

Thôi nhiều trường hợp lắm bà tự giải theo hướng đó nhé. Tớ còn chưa học phương trình.

5 tháng 8 2016

Lâu r ko làm thử bài pt nghiệm nguyên nào

\(5\left(x+y+z+t\right)+15=2xyzt\left(1\right)\)

Không mất tính tổng quát,giả sử \(1\le x\le y\le z\le t\)

Dễ thấy cả 2 vế đều khác 0,chia 2 vế của pt cho xyzt:

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{xyz}+\frac{5}{xzt}+\frac{5}{xyt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{xyzt}\le\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{5}{x^3}+\frac{15}{x^3}=\frac{35}{x^3}\)

\(\Leftrightarrow2\le\frac{35}{x^3}\Leftrightarrow2x^3\le35\Leftrightarrow x\in\left\{1;2\right\}\)

(*)x=1

\(=>2=\frac{5}{yz}+\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yzt}+\frac{15}{yzt}\le\frac{35}{y^2}\)

\(=>2\le\frac{35}{y^2}=>2y^2\le35=>y^2\le\frac{35}{2}=>y\in\left\{1;2;3;4\right\}\)

+x=1;y=1 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+25=2zt< =>5z+5t+25=2zt\)

\(< =>4zt=2\left(5z+5t+25\right)=10z+10t+50\)

\(< =>4zt-10z-10t-50=0< =>4zt-10z-10t+25=75\)

\(< =>2z\left(2t-5\right)-5\left(2t-5\right)=75< =>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75\)

\(1\le z\le t=>-3\le2z-5\le2t-5\)

\(=>\left(2z-5\right)\left(2t-5\right)=75=75.1=25.3=15.5\)

Ta xét bảng:

2z-5752515
2t-513

5

Suy ra :(z;t)=(3;40);(4;15);(5;10)

+x=1;y=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+30=4zt< =>5z+5t+30=4zt\)

\(< =>16zt=4\left(5z+5t+30\right)< =>16zt=20z+20t+120\)

\(< =>16zt-20z-20t-140=0< =>16zt-20z-20t+25=145\)

\(< =>\left(4z-5\right)\left(4t-5\right)=145\)

Xét bảng.... => ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=1;y=3 thì  \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=6zt< =>5z+5t+35=6zt\)

\(< =>36zt=6\left(5z+5t+35\right)< =>36zt=30z+30t+210\)

\(< =>36zt-30z-30t-210=0< =>36zt-30z-30t+25=135\)

\(< =>\left(6z-5\right)\left(6t-5\right)=235\)

Xét bảng=> ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=1;y=4 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=8zt< =>5z+5t+40=8zt\)

\(< =>6zt=8\left(5z+5t+40\right)=40z+40t+320\)

\(< =>6zt-40z-40t-320=0< =>6zt-40z-40t+25=345\)

\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=345\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

(*)x=2 thì \(\left(1\right)< =>5\left(y+z+t\right)+25=4yzt\),chia 2 vế của pt cho yzt:

\(< =>\frac{5}{zt}+\frac{5}{yt}+\frac{5}{yz}+\frac{25}{yzt}=4\le\frac{40}{y^2}< =>4y^2\le40< =>4\le y^2\le10\)

\(< =>y\in\left\{2;3\right\}\)

+x=2;y=2 thí \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+35=8zt< =>5z+5t+35=8zt\)

\(< =>64zt=8\left(5z+5t+35\right)=40z+40t+280\)

\(< =>64zt-40z-40t-280=0< =>64zt-40z-40t+25=305\)

\(< =>\left(8z-5\right)\left(8t-5\right)=305\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

+x=2;y=3 thì \(\left(1\right)< =>5\left(z+t\right)+40=12zt< =>5z+5t+40=12zt\)

\(< =>144zt=60z+60t+480\)

\(< =>144zt-60z-60t-480=0< =>144zt-60z-60t+25=505\)

Xét bảng=>ko tìm đc (z;t)=>loại TH này

Vậy pt (1) có các nghiệm (x;y;z;t) nguyên dương là (1;1;3;40);(1;1;5;10);(1;1;4;15) và các hoán vị của nó

28 tháng 6 2018

2) ĐK: x;y ∈ Z

pt ⇔ \(\left(x-y\right)^2+\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0\)

=> I) a) x-y=0 => x=y

b) y-1=0 => y=1 => x=y=1(nhận)

II) a) x-y=0 => x=y

b) y-3=0 => y=3 => x=y=3(nhận)