cho tam giác ABC, 3 đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. Gọi I,J,K,L là trung điểm AB,AC,HC,HB. CMR 6 điểm I,J,K,L,E,F cùng thuộc 1 đường tròn
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Trong tam giác ABH có PK là đường trung bình nên PK//AH và \(PK=\frac{1}{2}AH\)
Trong tam giác ACH có NR là đường trung bình nên NR//AH và \(NR=\frac{1}{2}AH\)
Do đó PK//NR và PK=NR nên PNRK là hình bình hành
Mặt khác PK//AH mà AH _|_ BC => PK _|_ BC
Lại có PN //BC (do PN là đường trung bình tam giác ABC)
=> PN _|_ PK, do đó PNRK là hình chữ nhật
Gọi S là giao của PR và NK thì SP=SN=SK=SR
Chứng minh tương tự có IS=SM=SN=SK
Tam giác FPR vuông tại F có S là trung điểm PR nên SF=SP=SR
Tương tự cũng có SE=SK=SN; SD=SI=SM
=> SD=SE=SF=SM=SN=SP=SI=SK=SR
Vậy 9 điểm I,K,R,M,N,P,D,E,F cùng thuộc 1 đường tròn tâm I
Đường tròn đi qua 9 điểm được gọi là đường tròn Euler của tam giác ABC
a: XétΔABC có
AD là đường cao
BE là đường cao
AD cắt BE tại H
Do đó: CH⊥AB
b: Ta có: ΔFBC vuông tại F
mà FD là trung tuyến
nên FD=BC/2(1)
Ta có: ΔEBC vuông tại E
mà ED là trung tuyến
nên ED=BC/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra FD=ED(3)
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
AB=AC
góc A chung
Do đó: ΔAEB=ΔAFC
SUy ra: AE=AF(4)
Từ (3) và (4) suy ra AD là đường trung trực của EF