cho a, b, c là các số dương chứng minh a/b+b/c+c/a+a/a+c+b/b+a+c/c+b>=4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
8 tháng 3 2016
ta co(:a+b)/c+(b+c)/a+(a+c)/b=a/c+c/a+a/b+b...
theo bdt cauchy,ta co
a/c+c/a>=2
b/c+c/b>=2
a/b+b/a>=2
vay a/c+a/b+b/a+b/c+c/a+c/b>=6(dpcm)
dau "="say ra khi a=b=c=1
12 tháng 3 2022
Câu hỏi của Adminbird - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath
NH
cho a,b,c,d là các số dương, chứng minh : (a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) >= 0
1
4 tháng 9 2015
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{d+a}+\frac{d+b}{a+b}\ge4,\) hay tương đương với
\(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4.\)
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, và chứng minh như sau: Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\ge\frac{4}{\left(b+c\right)+\left(a+d\right)}=\frac{4}{a+b+c+d},\) \(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{4}{\left(c+d\right)+\left(a+b\right)}=\frac{4}{a+b+c+d}.\) Thành thử
\(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=4.\) (ĐPCM)
9 tháng 7 2019
1)
+) a, b, c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c sẽ có dạng 3k+1 hoặc 3k+2
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 3
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3 (1)
+) a,b,c là các số nguyên tố lớn hơn 3
=> a, b, c là các số lẻ và không chia hết cho 4
=> a,b, c sẽ có dang: 4k+1; 4k+3
=> Trong 3 số (a-b); (b-c); (c-a) sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4
th1: Cả 3 số chia hết cho 4
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64 (2)
Từ (1); (2) => (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 64.3=192 vì (64;3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
th2: Có 2 số chia hết cho 4, Số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32 (3)
Từ (1) , (3)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 32.3=96 ( vì (3;32)=1)
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
Th3: chỉ có một số chia hết cho 4, hai số còn lại chia hết cho 2
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16
Vì (16; 3)=1
=> (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 16.3=48
Như vậy với a,b,c là số nguyên tố lớn hơn 3
thì (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 48
9 tháng 6 2018
Bài 6 . Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ ( a + b)2 ≥ 4ab
⇔ \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)≥ ab
⇔ \(\dfrac{a+b}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) ( 1 )
CMTT , ta cũng được : \(\dfrac{b+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{bc}{b+c}\) ( 2) ; \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ac}{a+c}\)( 3)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , Ta có :
\(\dfrac{a+b}{4}\) + \(\dfrac{b+c}{4}\) + \(\dfrac{a+c}{4}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
⇔ \(\dfrac{a+b+c}{2}\) ≥ \(\dfrac{ab}{a+b}\) + \(\dfrac{bc}{b+c}\) + \(\dfrac{ac}{a+c}\)
9 tháng 6 2018
Bài 4.
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương a , b, c , ta có :
\(1+\dfrac{a}{b}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) ( a > 0 ; b > 0) ( 1)
\(1+\dfrac{b}{c}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{b}{c}}\) ( b > 0 ; c > 0) ( 2)
\(1+\dfrac{c}{a}\) ≥ \(2\sqrt{\dfrac{c}{a}}\) ( a > 0 ; c > 0) ( 3)
Nhân từng vế của ( 1 ; 2 ; 3) , ta được :
\(\left(1+\dfrac{a}{b}\right)\left(1+\dfrac{b}{c}\right)\left(1+\dfrac{c}{a}\right)\) ≥ \(8\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}=8\)
19 tháng 4 2019
Ta có : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
TT : ....
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{a+c}{4}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge a+b+c-\frac{b+c}{4}-\frac{a+c}{4}-\frac{a+b}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)( 1 )
Mà a + b + c > 2 \(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}>1\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>1\)
PN
14 tháng 7 2020
biến đổi tương đương thôi , EZ !
\(BĐT< =>\frac{a\left(c+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b\left(a+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(< =>\frac{a\left(c+1\right)+b\left(a+1\right)+c\left(b+1\right)}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{3}{4}\)
\(< =>\frac{ab+bc+ca+a+b+c}{ab+bc+ca+a+b+c+1+abc}\ge\frac{3}{4}\)
\(< =>4\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\ge3\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)+6\)
\(< =>ab+bc+ca+a+b+c\ge6\)
Theo đánh giá của Bất đẳng thức Cauchy thì :
\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{abbcca}=3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
Vậy Bất đẳng thức được hoàn tất chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
PA
1
30 tháng 11 2016
ta làm một bài toán như sau ]
với x,y,z dương ta luôn có
(x+y+z)(1/x +1/y +1/z) ≥ 9 . dấu = xảy ra <=> x=y=z
cái này chắc bạn tự chứng minh được
áp dụng
(c+b+a+c+a+b)(1/c+b +1/a+c +1/a+b ) ≥ 9
=> 2a/c+b +2b/a+c +2c/a+b + 6 ≥ 9
=> 2(a/(b+c) +b/(a+c) +c/(a+b) ) ≥ 3
=> a/(b+c) +b/(c+a) +c/(a+b) ≥ 3/2
dấu = xảy ra <=> a=b=c