Question

[Lão_Đại]

Cho tam giác ABC vuông tại B \(\left(\widehat{C}\ne30^o\right)\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AC. Đường phân giác của góc BAC cắt EF tại I, cắt BC tại K.

a. Tứ giác ABEF là hình gì? Tại sao?

b. Chứng minh rằng: \(\frac{AB}{BK}=\frac{EI}{EK};\frac{KC}{KE}=\frac{AC}{IE}\)

c. Qua K kẻ KH⊥AC tại H. Chứng minh rằng: ΔBKH đồng dạng với ΔAFI

d. Chứng minh: \(S_{ABC}=S_{ABIH}\)

Giúp ý d thôi ạ.

Answer 1

[Dũng Lê Trí]

a) AEBF là hình thang vuôngvì EF là đường trung bình \(\Rightarrow EF//AB\)

b) Xét hai tam giác vuông ABK và EIK có góc EKI = góc AKB nên \(\Delta ABK\approx\Delta IEK\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{BK}=\frac{EI}{EK}\)

c) Xét \(\Delta AKB=\Delta AKH\left(ch-gn\right)\)

+ AK chung

+ Góc BAK = góc HAK

Vậy BK = HK

Gọi giao điểm của HK và AK là P

Xét \(\Delta PBK=\Delta PHK\left(c.g.c\right)\)

+ PK Chung

+ BK = HK

+ Góc PKB = góc PKH 

Suy ra góc PBK = góc PHK 

Ta có 

\(\hept{\begin{cases}\widehat{PBK}+\widehat{ABP}=90^0\\\widehat{BAP}+\widehat{ABP}=90^0\end{cases}}\Rightarrow\widehat{PBK}=\widehat{BAP}=\widehat{IAF}\left(1\right)\)

\(\hept{\begin{cases}\widehat{EKI}=\widehat{PKB}=\widehat{PKH}\\\widehat{EIK}+\widehat{EKI}=90^0\end{cases}}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\widehat{PKH}+\widehat{PHK}=90^0\\\widehat{EIK}+\widehat{PKH}=90^0\end{cases}\Rightarrow}\widehat{BHK}=\widehat{EIK}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có đpcm vì hai tam giác BKH và AFI đều là hai tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau 

Nên hai tam giác trên đồng dạng

d)