Cho \(a+b+c=2019\) .
CMR: \(\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca}=2019\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 5 2019
Ta có: \(a^2+2019=a^2+ab+bc+ca=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)
Tương tự ta có : \(b^2+2019=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)
\(c^2+2019=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^2-bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{b^2-ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^2-ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)\(=\frac{\left(a^2-bc\right)\left(b+c\right)+\left(b^2-ac\right)\left(a+c\right)+\left(c^2-ab\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)\(=\frac{a^2b-b^2c+a^2c-bc^2+ab^2-a^2c+b^2c-ac^2+ac^2+bc^2-a^2b-ab^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}=0\)\(\Rightarrow dpcm\)
N
26 tháng 5 2019
\(\text{Thay }ab+bc+ac=2019\text{ vào biểu thức trên, ta có: }\)
\(\frac{a^2-bc}{a^2+ab+bc+ac}+\frac{b^2-ac}{b^2+ab+bc+ac}+\frac{c^2-ab}{c^2+ab+bc+ac}\)
\(=\frac{\left(a^2-bc\right).\left(b+c\right)}{\left(a+c\right).\left(a+b\right).\left(b+c\right)}+\frac{\left(b^2-ac\right).\left(a+c\right)}{\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(a+c\right)}+\frac{\left(c^2-ab\right).\left(a+b\right)}{\left(a+c\right).\left(b+c\right).\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a^2b+a^2c-b^2c-bc^2+b^2a+b^2c-a^2c-ac^2+c^2a+c^2b-a^2b-ab^2}{\left(a+c\right).\left(a+b\right).\left(b+c\right)}=0\)
Vậy...
LH
1
6 tháng 8 2019
Câu hỏi của Thiên Ân - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
tương tự như câu này đều thay số thôi
28 tháng 6 2021
`(a+b+c)^2=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3(ab+bc+ca)`
`<=>a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca`
`<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0`
`VT>=0`
Dấu "=" xảy ra khi `a=b=c`
28 tháng 6 2021
`a^3+b^3+c^3=3abc`
`<=>a^3+b^3+c^3-3abc=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3abc-3ab(a+b)=0`
`<=>(a+b)^3+c^3-3ab(a+b+c)=0`
`<=>(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=0`
`**a+b+c=0`
`**a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca`
`<=>a=b=c`
VT
20 tháng 10 2019
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca< =>\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0< =>\)
a=b=c => 32020 = 3.a2019 <=> 32019 = a2019 => a=b=c=3
A= 12017 + 02018 + (-1)2019 = 0
7 tháng 8 2019
Từ giả thiết suy ra \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\) (*) (Vì a,b,c > 0)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}\le\frac{1}{\sqrt{2}.\sqrt[4]{a^3b}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt[4]{\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{a}.\frac{1}{b}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Đánh giá tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{b}+\frac{1}{c}\right);\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\left(\frac{3}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
Từ đó, kết hợp với (*) suy ra:
\(\frac{1}{\sqrt{a^3+b}}+\frac{1}{\sqrt{b^3+c}}+\frac{1}{\sqrt{c^3+a}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}.4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1.\)
TT
0
T
31 tháng 7 2019
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\) (chuyển vế qua)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]=0\)
Do VP >=0 với mọi a, b, c. Nên để đăng thức xảy ra thì a = b = c
19 tháng 11 2019
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
TG
0
Ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}=2019\left(đpcm\right)\)
Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+^2-ab-ac-bc\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}=2019\)
\(\Rightarrowđpcm\)