Question

[dbrby]

Cho x,y,z > 0 thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2017\)

Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)

Answer 1

[Trần Thanh Phương]

Xét bất đẳng thức : \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

Áp dụng ta có :

\(2\left(y^2+z^2\right)\ge\left(y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}\ge y+z\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}\ge\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x+z}\ge\frac{y^2}{\sqrt{2\left(x^2+z^2\right)}};\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{z^2}{\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}\)

Cộng theo vế của 3 bđt ta được :

\(A\ge\Sigma\frac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x^2+y^2}\\b=\sqrt{y^2+z^2}\\c=\sqrt{z^2+x^2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó :

+) \(a+b+c=2017\)

+) \(a^2+b^2-c^2=x^2+y^2+y^2+z^2-z^2-x^2=2y^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-c^2}{2}=y^2\)

\(\)+) \(\sqrt{2\left(z^2+x^2\right)}=\sqrt{2}c\)

Do đó ta có \(A\ge\frac{a^2+b^2-c^2}{2\sqrt{2c}}+\frac{b^2+c^2-a^2}{2\sqrt{2}a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+\frac{b^2+c^2-a^2}{a}+\frac{a^2+c^2-b^2}{b}\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}+2c-3c\right)\right]\ge\frac{1}{2\sqrt{2}}\left[\Sigma\left(2\left(a+b\right)-3c\right)\right]\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)\)

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\cdot2017=\frac{2017}{2\sqrt{2}}=\frac{2017\sqrt{2}}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=...\)

Answer 2

[tthnew]

ghê nhờ:) Mà viết kĩ lại giúp em chỗ:

\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\frac{a^2+b^2-c^2}{c}+...\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\Sigma\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2c}-c\right)\right)\).

Em ko hiểu lắm, tại sao lại có dấu = ở đây được nhỉ?