Question

[Nguyễn Thanh Hiền]

Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c + ab + bc + ac = 36. Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2\ge27\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^2+9\geq 2\sqrt{9a^2}=2|3a|\geq 6a$

Tương tự: $b^2+9\geq 6b; c^2+9\geq 6c$

Cộng theo vế:

$a^2+b^2+c^2\geq 6(a+b+c)-27(*)$

Cũng áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$

Hoàn toàn tương tự và cộng theo vế:

$2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)$

$\Leftrightarrow 6(a^2+b^2+c^2)\geq 6(ab+bc+ac)(**)$

Lấy $(*)+(**)\Rightarrow 7(a^2+b^2+c^2)\geq 6(a+b+c+ab+bc+ac)-27=6.36-27=189$

$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 27$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=3$