Cho a>b>c là các số dương ab=1
CMR \(\frac{a^2+b^2}{a-b}\ge2\sqrt{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 6 2020
2. Bạn kiểm tra lại đề: VP = 1/2
Ta có:
\(\sqrt{a\left(3a+b\right)}=\frac{1}{4}.2.\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{1}{4}\left(4a+3a+b\right)=\frac{1}{4}\left(7a+b\right)\)
\(\sqrt{b\left(3b+a\right)}=\frac{1}{4}.2.\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le\frac{1}{4}\left(4b+3b+a\right)=\frac{1}{4}\left(7b+a\right)\)
=> \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{\frac{1}{4}\left(7a+b\right)+\frac{1}{4}\left(7b+a\right)}=\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\)
Vậy: \(\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{1}{2}\) với a, b dương
2 tháng 9 2019
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT Cô-si:
\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).
b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)
\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).
Bài 2: tương tự 1b.
2 tháng 9 2019
Bài 3:
Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT:
\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2020
\(\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự: \(\sqrt{\frac{bc+2a^2}{1+bc-a^2}}\ge bc+2a^2\) ; \(\sqrt{\frac{ca+2b^2}{1+ac-b^2}}\ge ca+2b^2\)
Cộng vế với vế:
\(VT\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=2+ab+bc+ca\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 10 2019
\(\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{a^2+b^2-2ab+2ab}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)^2}{a-b}+\frac{2}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\frac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
21 tháng 2 2019
\(VT=\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+ab+b^2}}+\sqrt{\frac{bc+2a^2}{b^2+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{ca+2b^2}{c^2+ca+a^2}}\)
\(=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+ab+b^2\right)\left(ab+2c^2\right)}}+\frac{bc+2a^2}{\sqrt{\left(b^2+bc+c^2\right)\left(bc+2a^2\right)}}+\frac{ca+2b^2}{\sqrt{\left(c^2+ca+a^2\right)\left(ca+2b^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2c^2+2ab}+\frac{2\left(bc+2a^2\right)}{2a^2+b^2+c^2+2bc}+\frac{2\left(ca+2b^2\right)}{a^2+2b^2+c^2+2ca}\)
\(\ge\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{bc+2a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{ca+2b^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=2+ab+bc+ca=VP\) (Do a2 + b2 + c2 = 1) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}.\)
12 tháng 11 2020
chăc là .............................. điền đi sẽ biếc a you ok ?
22 tháng 7 2019
3.Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=ab.\frac{1}{\left(a+c\right)+2b+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{9}ab.\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
TT \(\frac{bc}{b+3c+2a}\le\frac{bc}{9}.\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\frac{ca}{c+3a+2b}\le\frac{ac}{9}.\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=> \(VT\le\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\Sigma.\frac{1}{9}.\left(\frac{bc}{a+c}+\frac{ba}{a+c}\right)=\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
Dấu bằng xảy ra khi a=b=c
22 tháng 7 2019
cảm ơn bạn nhiều, bạn có thể giúp mình hai câu kia nữa được không
19 tháng 8 2017
\(a-1=-b-c< 0\)trái ĐKXĐ, đề sai , phải đổi 1-a, 1-b, 1-c
13 tháng 10 2019
Theo BĐT Cauchy :
\(\sqrt{\frac{b+c}{a}.1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)
Do đó : \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự : \(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\)
\(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi :
\(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c+a\\c=a+b\end{cases}\Rightarrow a+b+c=0}\), vô lí vì a, b, c là các số dương nên đẳng thức không xảy ra.
Vậy \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\).
13 tháng 10 2019
Chết cha, mình bị thiếu chỗ dấu "=" xảy ra là c = a + b.
giair dùm mình đi