Cho a,b,c là 3 số nguyên dườn thoả mãn đk a+b+c=1. Tìm gtnn của A. Biết A = \(\frac{\left(a+1\right).\left(b+1\right).\left(c+1\right)}{\left(1-a\right).\left(1-b\right).\left(1-c\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(A=\dfrac{\left(a+b+c+a\right)\left(a+b+c+b\right)\left(a+b+c+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(A\ge\dfrac{2\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}.2\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}.2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
10 tháng 1 2017
\(P=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\left(abc=1\right)\)
\(=\frac{1}{a^2\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}\right)}+\frac{1}{b^2\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)}+\frac{1}{c^2\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}+\frac{\frac{1}{b^2}}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}+\frac{\frac{1}{c^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix}\frac{1}{a}=x\\\frac{1}{b}=y\\\frac{1}{c}=z\end{matrix}\right.\) suy ra \(xyz=1\). Khi đó:
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left\{\begin{matrix}\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\\\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\\\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\end{matrix}\right.\).Cộng theo vế ta có:
\(P+\frac{x+y+z}{2}\ge x+y+z\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=3\right)\)
11 tháng 4 2017
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)
Ta có:
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}\)
Tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}\ge\frac{6b-c-a-2}{8}\\\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6c-a-b-2}{8}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{6a-b-c-2}{8}+\frac{6b-c-a-2}{8}+\frac{6c-a-b-2}{8}\)
\(=\frac{a+b+c}{2}-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{2}.\sqrt[3]{abc}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}-\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\)
11 tháng 4 2021
\(A=\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\).
Ta có:
\(1-a=a+b+c-a\).(vì \(a+b+c=1\)).
\(\Leftrightarrow1-a=b+c\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(1-b=c+a\); \(1-c=a+b\). Do đó:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\).
Lại có:
\(1+a=a+b+c+a\)(vì \(a+b+c=1\)).
\(\Leftrightarrow1+a=\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(1+b=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\); \(1+c=\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\),.
Do đó \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]\)
Lúc đó:
\(A=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\).
Đặt \(a+b=x,b+c=y,c+a=z\left(x,y,z>0\right)\) thì \(x+y+z=2\left(a+b+c\right)=2\). Lúc đó:
\(A=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yzx}\).
Vì \(x,y>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(2\right)\);
\(z+y\ge2\sqrt{zy}\left(3\right)\).
Từ (1), (2), (3), ta được:
\(\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)\ge8\sqrt{xy.yz.zx}=8xyz\).
\(\Rightarrow\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yzx}\ge\frac{8xyz}{xyz}=8\).
\(\Rightarrow A\ge8\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow x=y=z>0\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a>0\Leftrightarrow a=b=c>0\).
Mà \(a+b+c=1\)nên \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
Vậy \(minA=8\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\).
Lời giải:
Thay $1=a+b+c$ ta có:
\(A=\frac{(a+1)(b+1)(c+1)}{(1-a)(1-b)(1-c)}=\frac{(a+a+b+c)(b+a+b+c)(c+a+b+c)}{(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)}\)
\(=\frac{(2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:
\(2a+b+c=(a+b)+(a+c)\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}\)
\(a+2b+c=(b+c)+(b+a)\geq 2\sqrt{(b+c)(b+a)}\)
\(a+b+2c=(c+a)+(c+b)\geq 2\sqrt{(c+a)(c+b)}\)
Nhân theo vế:
\(\Rightarrow (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c)\geq 8(a+b)(b+c)(c+a)\)
Do đó: \(A\geq \frac{8(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=8\)
Vậy GTNN của $A$ là $8$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$