Question

[Phùng Minh Quân]

Cho tam giác ABC nhọn, p là nửa chu vi, S là diện tích

CMR: \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\frac{p^2}{3S}\)

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

\(cotA+cotB+cotC\ge\frac{p^2}{3S}\)

<=> \(cotA.S+cotB.S+cotC.S\ge\frac{p^2}{3}\)

MÀ \(S=\frac{1}{2}ab.sinC=\frac{1}{2}bc.SinA=\frac{1}{2}ac.SinB\)

=> \(\frac{1}{2}bc.cosA+\frac{1}{2}ab.cosC+\frac{1}{2}ac.cosC\ge\frac{p^2}{3}\)

Áp dụng công thức hàm cos ta có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};cosC=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}\)

ĐPCM

<=> \(\frac{1}{4}\left(a^2+b^2-c^2\right)+\frac{1}{4}\left(b^2+c^2-a^2\right)+\frac{1}{4}\left(a^2+c^2-b^2\right)\ge\frac{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2}{3}\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)luôn đúng 

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c  => Tam giác ABC đều 

Vậy \(cotA+cotB+cotC\ge\frac{p^2}{3S}\)

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi AH,BK,CL là 3 đường cao của \(\Delta\)ABC. Khi đó:

\(\cot B=\frac{BH}{HA},\cot C=\frac{CH}{HA}\) suy ra \(\cot B+\cot C=\frac{BC}{HA}\)

Chứng minh tương tự rồi cộng theo vế ta được: 

\(2\left(\cot A+\cot B+\cot C\right)=\frac{BC}{HA}+\frac{CA}{KB}+\frac{AB}{LC}\)

\(=\frac{BC^2}{2S}+\frac{CA^2}{2S}+\frac{AB^2}{2S}\ge\frac{\left(BC+CA+AB\right)^2}{6S}=\frac{2p^2}{3S}\)(BĐT Schwartz)

Do đó \(\cot A+\cot B+\cot C\ge\frac{p^2}{3S}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.