Question

[Aeris]

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. ĐIểm M thuộc BC. ĐƯờng thẳng qua A vuông góc với AM theo thứ tự cắt các đường thẳng qua M vuông góc với AB và AC tại E và F. CMR AH, BF,CE đồng quy.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi BF,CE cắt nhau tại K và cắt AC,AB lần lượt tại S,T. Đường thẳng AH cắt MF,ME lần lượt tại P,Q.

Ta dễ thấy P là trực tâm của \(\Delta\)MAC, suy ra CP // EA (Cùng vuông góc AM). Tương tự BQ // FA

Áp dụng ĐL Melelaus và ĐL Thales ta có:

\(\frac{\overline{KB}}{\overline{KF}}.\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}.\frac{\overline{EF}}{\overline{EA}}=1\Rightarrow\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}=\frac{\overline{KF}}{\overline{KB}}.\frac{\overline{EA}}{\overline{EF}}=\frac{\overline{AF}}{\overline{QB}}.\frac{\overline{EA}}{\overline{EF}}\)

\(\frac{\overline{KC}}{\overline{KE}}.\frac{\overline{SA}}{\overline{SC}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}=1\Rightarrow\frac{\overline{SC}}{\overline{SA}}=\frac{\overline{KC}}{\overline{KE}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{EA}}.\frac{\overline{FE}}{\overline{FA}}\)

Suy ra \(\frac{\overline{TA}}{\overline{TB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}.\frac{\overline{SC}}{\overline{SA}}=\frac{\overline{CP}}{\overline{QB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}=-\frac{\overline{HC}}{\overline{HB}}.\frac{\overline{HB}}{\overline{HC}}=-1\)

Áp dụng điều kiện đủ của ĐL Ceva ta thu được AH,BS,CT đồng quy hay AH,BF,CE đồng quy (đpcm).