Choa,b,c là ba số dương thỏa mãn:a+b+c=1.Chứng minh rằng:c+ab/a+b + a+bc/b+c + b+ac/a+c >=2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CC
0
MX
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 3 2021
Đề đúng không em nhỉ?
Đề bài thế này vẫn tính được a;b;c, nhưng số rất xấu (căn thức, lớp 7 chưa học)
Biểu thức thứ hai: \(b+bc+c=5\) phải là \(b+bc+c=8\) hoặc 3; 15; 24; 35; 48... gì đó mới hợp lý, nghĩa là cộng thêm 1 phải là 1 số chính phương
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(VT=\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ca}{c+a}+\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}\)
\(VT=\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\)
Ta có:
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{c+a}\ge2\left(a+b\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(a+c\right)\)
\(\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}+\dfrac{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}{a+b}\ge2\left(b+c\right)\)
Cộng vế với vế:
\(\Rightarrow VT\ge2\left(a+b+c\right)=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
11 tháng 2 2020
Đề đúng: Cho a,b,c thỏa mãn a+b+c>0; ab+bc+ac>0; abc>0. Chứng minh a,b,c>0
Vì abc>0 nên có ít nhất 1 số lớn hơn 0
Vai trò của a, b, c như nhau nên chọn a>0
TH1: b<0;c<0
\(\Rightarrow b+c>-a\Rightarrow\left(b+c\right)^2< -a\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow b^2+2bc+c^2< -ab-ac\)
\(\Rightarrow b^2+bc+c^2< -\left(ab+bc+ca\right)\)(vô lí)
TH2: b>0, c>0 thì a>0( luôn đúng)
Vậy a, b, c >0
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=\dfrac{c+ab}{a+b}+\dfrac{a+bc}{b+c}+\dfrac{b+ac}{a+c}\)
\(=\dfrac{c\left(a+b+c\right)+ab}{a+b}+\dfrac{a\left(a+b+c\right)+bc}{b+c}+\dfrac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a+c}\)
\(=\dfrac{ac+bc+c^2+ab}{a+b}+\dfrac{a^2+ab+ac+bc}{b+c}+\dfrac{ab+b^2+bc+ac}{a+c}\)
\(=\dfrac{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{a+b}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{b+c}+\dfrac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a+c}\)
\(\ge2\left(a+b+c\right)=2\left(a+b+c=1\right)\)
Khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
BĐT AM-GM là gì vậy