Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác . Chứng minh : a) \(MA+MB+MC+MD\ge AB+CD\) b) \(MA+MB+MC+MD\ge\frac{1}{2}\left(AB+BC+CD+DA\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Áp dụng BĐT ba điểm :
\(AM+MB\ge AB\) ; \(BM+MC\ge BC\); \(CM+MD\ge CD\) ; \(DM+MA\ge DA\)
Cộng theo vế : \(2\left(MA+MB+MC+MD\right)\ge AB+BC+CD+DA\)
\(\Leftrightarrow MA+MB+MC+MD\ge\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD
b/ Ta cũng áp dụng BĐT ba điểm :
\(AM+MC\ge AC\) ; \(BM+MD\ge BD\)
Cộng theo vế : \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)
Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AC và BD
Hình bạn tự vẽ nhé.
a) Theo bất đẳng thức tam giác:
MA+MB> AB (1)
MC+MD>CD (2)
=> MA +MB +MC +MD >AB +CD
b) Theo BĐT tam giác:
MA+MD > AD (3)
MB +MC >BC (4)
(1)(2)(3)(4) => 2(MA +MB+MC+MD)>AB +BC +CD +AD
MA +MB +MC +MD>AB +BC +CD +AD /2
Mình không nghĩ là dấu≥ vì bất đẳng thức tam giác đâu có dấu bằng đâu nhỉ?
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {EB} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FC} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GF} + \overrightarrow {FD} } \right)\end{array}\)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {MG} \overrightarrow { + MG} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} } \right) \\+ \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {EB} } \right) + \left( {\overrightarrow {FC} + \overrightarrow {FD} } \right)\)
\( = 4\overrightarrow {MG} + 2.\overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 4\overrightarrow {MG} \) (đpcm)
Gọi I là giao điểm
Lấy điểm M bất kì trong tứ giác ABCD
Ta có: \(MA+MC\ge AC\)
\(MB+MD\ge BD\)
nên \(MA+MB+MC+MD\ge AC+BD\)( có giá trị không đổi )
Để MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất thì:
\(MA+MB+MC+MD=AC+BD\Leftrightarrow"="MA+MC\ge AC\)\(\Rightarrow M\in AC\)
Tương tự xảy ra \("="\Leftrightarrow MB+MD\ge BD\Rightarrow M\in BD\)
Nên M trùng O
Vậy......................