Question

[Nguyễn Tất Đạt]

Dấu bằng xảy ra khi nào vậy các bạn ?

Cho M là một điểm bất kì nằm bên trong hình bình hành ABCD. Chứng minh \(MA.MC+MB.MD\ge BC.CD\)

Answer 1

[Đào Thu Hoà]

 Hình 2

Trước hết ra chứng minh bổ đề sau : 

Trong một tứ giác lồi ABCD, ta có: \(AB.CD+AD.BC\ge AC.BD\)( BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ)

Hình 1

Thật vậy, lấy điểm E trong tứ giác ABCD sao cho \(\widehat{EBA}=\widehat{DBC};\widehat{EAB}=\widehat{BDC}\)(Hình 1)

Khi đó hai tam giác ABE và DBC đồng dạng nên \(\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{CD}\).\(\Rightarrow AB.CD=BD.AE\)(1)

Lại từ \(\Delta ABE~\Delta DBC\Rightarrow\frac{AB}{BD}=\frac{BE}{BC}\); Và \(\widehat{ABD}=\widehat{EBC}\)(Do \(\widehat{ABE}+\widehat{EBD}=\widehat{DBC}+\widehat{EBD}.\))

Suy ra \(\Delta EBC~\Delta ABD\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BC}{BD}=\frac{EC}{AD}\Rightarrow AD.BC=BD.EC.\)(2)

Từ (1) và (2) có: \(AB.CD+AD.BC=BD\left(AE+EC\right)\Rightarrow AB.CD+AD.BC\ge AC.BD\)

Đẳng thức xảy ra khi E nằm trên đoạn AC, nghĩa là khi và chỉ khi \(\widehat{CAB}=\widehat{CDB}\)hay tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

                                                Chứng minh, áp dụng  BẤT ĐẲNG THỨC PTÔLÊMÊ vào bài toán(Hình 2)

  Qua đường thẳng song song với AD đi qua M lấy điểm K sao cho AD=MK=BC.(K nằm trong cùng một nửa mặt phẳng với M,C)

Suy ra các tứ giác AMKD, BMKC là hình bình hành  (theo dấu hiệu nhận biết thứ 3)

Áp dụng bất đẳng thức PTÔLÊMÊ cho tứ giác MCKD ta có:  \(MD.CK+MC.DK\ge MK.CD\)

Mà AMKD, BMKC là hình bình hành nên \(\hept{\begin{cases}CK=MB\\DK=MA\end{cases}}\)Và \(MK=BC\)(cách vẽ)

Suy ra \(MD.MB+MC.MA\ge BC.CD\)(Điều phải chứng minh)

Dấu '=' xảy ra khi tứ giác MCKD nội tiếp hay \(\widehat{MKC}=\widehat{MDC}\Rightarrow\widehat{MBC}=\widehat{MDC}\)(Do \(\widehat{MBC}=\widehat{MKC}\))

(P/S : Chỗ dấu '=' em cũng đang phân vân, bài em có gì sai mong các bạn góp ý sửa giùm ạ. Cám ơn)