Chứng minh B>8
\(B=\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{24}}>8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
9 tháng 7 2018
Áp dụng bất đẳng thức \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\)ta có:
B>1+2[\(\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+...+\left(\sqrt{25}-\sqrt{24}\right)\)\(]\)
>1+2[\(\sqrt{25}-\sqrt{2}]\)>1+2(5-1.4)=1+7,2=8,2
Vậy
11 tháng 7 2018
b) bạn trục mẫu đi nha dựa vào hằng đẳng thức a^2 -b^2=(a-b)(a+b)
rồi bạn tính nói chung mẫu bằng -1
tính cái trên tử kết quả là 4
c) bạn dựa vào câu b .\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{2}{2\sqrt{3}}>\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
từ đó suy ra B > 2A vậy B>8
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2018
Lời giải:
a) Ta thấy: \(a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0, \forall a,b>0\)
\(\Rightarrow a+b\geq 2\sqrt{ab}>0\Rightarrow \frac{1}{a+b}\le \frac{1}{2\sqrt{ab}}\).
Vì $a> b$ nên dấu bằng không xảy ra . Tức \(\frac{1}{a+b}< \frac{1}{2\sqrt{ab}}\)
Ta có đpcm
b)
Áp dụng kết quả phần a:
\(\frac{1}{3}=\frac{1}{1+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.1}}\)
\(\frac{1}{5}=\frac{1}{3+2}< \frac{1}{2\sqrt{2.3}}\)
\(\frac{1}{7}=\frac{1}{4+3}< \frac{1}{2\sqrt{4.3}}\)
.....
\(\frac{1}{4021}=\frac{1}{2011+2010}< \frac{1}{2\sqrt{2011.2010}}\)
Do đó:
\(\frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{3}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5}+...+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{4021}\)
\(< \frac{\sqrt{2}-\sqrt{1}}{2\sqrt{2.1}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3.2}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{2\sqrt{4.3}}+....+\frac{\sqrt{2011}-\sqrt{2010}}{2\sqrt{2011.2010}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{2010}}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2011}}< \frac{1}{2}\) (đpcm)
8 tháng 8 2017
Ta có BĐT phụ \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\)
\(\Leftrightarrow-\dfrac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}-1\right)^2}{\sqrt{a}-1}\ge0\forall\dfrac{1}{4}< a< 0\)
Tương tự cho 3 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1;\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1;\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\)
Cộng theo vế 4 BĐT trên ta có:
\(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8=VP\)
Xảy ra khi \(a=b=c=d=\dfrac{1}{4}\)
8 tháng 8 2017
Ta cần chứng minh :
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge\left(4a+1\right)\left(1-a\right)\)
\(\Leftrightarrow1+\sqrt{a}\ge4a-4a^2+1-a\)
\(\Leftrightarrow4a^2-4a-1+a+1+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow4a^2-3a+\sqrt{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(4a^2-a\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}\right)-\left(2a-\sqrt{a}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a}\right)\left(2a+\sqrt{a}-1\right)\ge0\)
Ta có: \(2a-\sqrt{a}=\left(\sqrt{2a}-\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}\ge0\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\left(2a+\sqrt{a}-1\right)=\left(\sqrt{2a}+\dfrac{\sqrt{2}}{4}\right)^2-\dfrac{9}{8}\ge0\)
\(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Vậy: \(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}\ge4a+1\) \(\forall a\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Tương tự: \(\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}\ge4b+1\forall b\in\left(0;1\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}\ge4c+1\forall c\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
\(\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4d+1\forall d\in\left(0;\dfrac{1}{4}\right)\)
Cộng các BĐT vừa chứng minh, ta được:
\(\dfrac{1+\sqrt{a}}{1-a}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{1-b}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{1-c}+\dfrac{1+\sqrt{d}}{1-d}\ge4\left(a+b+c+d\right)+4=8\)
Vậy: Ta suy ra được điều phải chứng minh
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 6 2018
Lời giải:
Ta có;
\(A=\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{120}+\sqrt{121}}\)
\(A=\frac{\sqrt{2}-1}{(1+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}+....+\frac{\sqrt{121}-\sqrt{120}}{(\sqrt{120}+\sqrt{121})(\sqrt{121}-\sqrt{120})}\)
\(A=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{121}-\sqrt{120}\)
\(A=\sqrt{121}-\sqrt{1}=10\)
Mặt khác:
\(\frac{B}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{35}}\)
\(>\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{35}+\sqrt{36}}\)
\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{(\sqrt{4}-\sqrt{3})(\sqrt{4}+\sqrt{3})}+...+\frac{\sqrt{36}-\sqrt{35}}{(\sqrt{36}-\sqrt{35})(\sqrt{36}+\sqrt{35})}\)
\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+...+\sqrt{36}-\sqrt{35}\)
\(\Leftrightarrow \frac{B}{2}>\frac{1}{2}+\sqrt{36}-\sqrt{2}>5\Rightarrow B>10\Rightarrow B>A\)
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 6 2018
Mấu chốt là bạn nhìn ra \((\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})=(n+1)-n=1\) để thực hiện liên hợp
13 tháng 7 2018
b)CM: \(ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2b^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}=0\)
\(VT=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{\left(ab\right)^2}}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=\sqrt{a^2b^2+1}-\sqrt{a^2b^2+1}\)
\(VT=0=VP\)