cho a,b,c không âm và a ≥ b ≥ c , \(a^2+b^2+c^2=3\) .Cmr:
\(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
4 tháng 10 2017
Dề sai. Cho \(a=c=0,b=\sqrt{2}\) thì được
\(0+\frac{2}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{3}\approx1,162>1\)
13 tháng 7 2017
Ta có:
\(a^3+a^3+1+b^3+b^3+1+c^3+c^3+1\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\le3+3+3=9\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3\)
Giả sử: \(a\ge b\ge c\)
Ta cần chứng minh.
\(\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\le1\)
\(\Leftrightarrow a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\le0\)
Ta có:
\(a^2c+c^2b+b^2a+2\left(a^2+b^2+c^2\right)-abc-8\)
\(\le a^2c+c^2b+b^2a-abc-2\)
\(\le a^2c+b^2c+b\left(3-a^2-b^2\right)-abc-2\)
\(=-\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)-a\left(b-c\right)\left(a-b\right)\le0\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)
13 tháng 5 2019
Vì vai trò của a,b,c như nhau,không mất tính tổng quát ta có:\(a\le b\le c\le1\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-1\le0\\b-1\le0\\c-1\le0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}\le\frac{a^2}{3\sqrt[3]{a^2b^5c^5}}=\frac{a^2}{3bc}\)
Tương tự:\(\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}\le\frac{b^2}{3ac};\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{c^2}{3ab}\)
Cộng vế với vế của 3 BĐT trên ta đươc:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^2}{3bc}+\frac{b^2}{3ac}+\frac{c^2}{3ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\)
Xét \(a^3+b^3+c^3\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3-1\right)+\left(b^3-1\right)+\left(c^3-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)+\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)+\left(c-1\right)\left(c^2+c+1\right)\le0\) (đúng)
Từ đó suy ra:
\(\frac{a^2}{a^2+b^5+c^5}+\frac{b^2}{b^2+a^5+c^5}+\frac{c^2}{c^2+a^5+b^5}\le\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\le\frac{3}{3}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu '='xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\abc=1\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)
19 tháng 11 2019
a)\(VT=\sum_{cyc}\frac{ab^3+ab^2c+a^2bc}{\left(a^2+bc+ca\right)\left(b^2+bc+ca\right)}\le\frac{\sum_{cyc}\left(ab^3+ab^2c+a^2bc\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{ab^3+bc^3+ca^3+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)\(\le\frac{\sum_{cyc}ab\left(a^2+b^2\right)+abc\left(a+b+c\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}\)
\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}=VP\)
N
0
T
7 tháng 9 2019
Làm bài này một hồi chắc bay não:v
Bài 1:
a) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(VT\le\frac{a+b}{4}+\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có đpcm.
Bài 2:
a) Dấu = bài này không xảy ra ? Nếu đúng như vầy thì em xin một slot, ăn cơm xong đi ngủ rồi dậy làm:v
b) Theo BĐT Bunhicopxki:
\(VT^2\le3.\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]=6\Rightarrow VT\le\sqrt{6}\left(qed\right)\)
Đẳng thức xảy r akhi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 3: Theo BĐT Cauchy-Schwarz và bđt AM-GM, ta có:
\(VT\ge\frac{4}{2-\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{4}{2-2xy}=\frac{2}{1-xy}\)
PT
1
24 tháng 11 2017
Ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{b+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho vế VT và VP:
\(VT=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{a^2b^2c^2}{8abc}}=3\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}\) (1)
\(VP=\frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{8}}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM