Question

[Trần Như Ngọc]

Chứng minh rằng "Nếu trừ các giá trị của biến lượng với cùng một số thì số trung bình của biến lượng cũng được trừ với số đó".

Answer 1

[Nguyễn Linh Chi]

Các giá trị của biến lượng : \(x_1;x_2;...;x_k\)có tần số tương ứng là: \(n_1;n_2;...;n_k\)

Trung bình của biến lượng \(\overline{X}=\frac{n_1.x_1+n_2.x_2+...+n_k.x_k}{n_1+n_2+...+n_k}\)

Nếu trừ các giá trị biến lượng cùng một số khi đó ta có trung bình mới của biến lượng:

\(\frac{n_1\left(x_1-a\right)+n_2.\left(x_2-a\right)+...+n_k.\left(x_k-a\right)}{n_1+n_2+...+n_k}=\frac{n_1.x_1+n_2.x_2+...+n_k.x_k-a\left(n_1+n_2+...+n_k\right)}{n_1+n_2+...+n_k}\)

\(=\frac{n_1.x_1+n_2.x_2+...+n_k.x_k}{n_1+n_2+...+n_k}-\frac{a\left(n_1+n_2+...+n_k\right)}{n_1+n_2+...+n_k}=\overline{X}-a\)

Answer 2

[KhảTâm]

Giả sử:

• \(x_1,x_2,x_3,...,x_k\)là các giá trị của biến lượng.
• \(n_1,n_2,n_3,...,n_k\)là các tần số tương ứng

Ta có:

\(N=x_1+x_2+x_3+...+x_k\Rightarrow\overline{X}=\frac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3+...+x_kn_k}{N}\)

Giả sử a là số được trừ đi ở mọi biến lượng

Vậy, giá trị của các biến lượng là:

\(\left(x_1-a\right),\left(x_2-a\right),\left(x_3-a\right),...,\left(x_k-a\right).\)

Suy ra :  

\(\overline{X}=\frac{\left(x_1-a\right)n_1+\left(x_2-a\right)n_2+\left(x_3-a\right)n_3+...+\left(x_k-a\right)n_k}{N}\)

 \(=\frac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3+...+x_kn_k+\left(-n_1-n_2-n_3-...-n_k\right)a}{N}\)

 \(=\frac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3+...+x_kn_k-Na}{N}\)

 \(=\frac{x_1n_1+x_2n_2+x_3n_3+...+x_kn_k}{N}-a=\overline{X}-a\left(đpcm\right)\)