ai giải giùm mình với ạ
cho \(a^2+b^2+c^2=3\) và a,b,c >0
CMR \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
S
26 tháng 5 2017
2) \(VT=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
Xét \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\) (1)
Xét \(3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng phân thức
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow3\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{9}{2}+\frac{3}{2}=6\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
14 tháng 1 2020
\(VT-VP=\Sigma_{cyc}\frac{2a+b+c}{a^2b\left(a+b+c\right)}\left(a-b\right)^2\ge0\)
hay \(\frac{a}{c^2}+\frac{1}{a}\ge\frac{2}{c}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a}{c^2}\ge\frac{2}{c}-\frac{1}{a}\)\(\Rightarrow\)\(VT\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
ND
10 tháng 8 2019
1.
C/m bổ đề: \(a^3-b^3\ge\frac{1}{4}\left(a^3-b^3\right)\) với \(\forall a,b\in R,a\ge b\)
\(\Leftrightarrow4a^3-4b^3-\left(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3a^3+3a^2b-3ab^2-3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2-b^2\right)\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a+b\right)^2\left(a-b\right)\ge0\)(đúng)
Theo bài ra: \(a^3-b^3\ge3a-3b-4\)
\(\Leftrightarrow\) Cần c/m: \(\left(a-b\right)^3\ge12a-12b-16\)(1)
Thật vậy:
\(\left(1\right)\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^3-12\left(a-b\right)+16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^3-8\right]-12\left(a-b-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)\left[\left(a-b\right)^2+2\left(a-b\right)+4\right]-12\left(a-b-2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)\left[\left(a-b\right)^2+2\left(a+b\right)-8\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b-2\right)^2\left(a-b+4\right)\ge0\) (đúng với mọi a,b thỏa mãn \(a,b\in R,a\ge b\))
ND
10 tháng 8 2019
2.
\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{a+b}{ab}}+\frac{1}{\frac{c+d}{cd}}\le\frac{1}{\frac{a+b+c+d}{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\le\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab\left(c+d\right)+cd\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\le\)\(\frac{ab+ad+bc+cd}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\frac{abc+abd+acd+bcd}{ac+ad+bc+bd}\le\frac{ab+ad+bc+cd}{a+b+c+d}\)
\(\Leftrightarrow\left(ad+ab+bc+cd\right)\left(ac+ad+bc+bd\right)\ge\)\(\left(a+b+c+d\right)\left(abc+abd+acd+bcd\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(ad\right)^2-2abcd+\left(bc\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (đúng với mọi a,b,c,d>0)
24 tháng 10 2020
a) Bổ đề: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\forall x,y>0\)
\(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}+\frac{bc\left(b+c\right)}{bc}+\frac{ca\left(c+a\right)}{ca}=2\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
BL
24 tháng 10 2020
Cảm ơn bạn nhiều nhé Nhật Pháp soi chiếu thế gian. Nếu có thể, mong bạn hãy giúp mình những phần còn lại ^^
\(VT=\frac{a^4}{a^3b}+\frac{b^4}{b^3c}+\frac{c^4}{c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^3b+b^3c+c^3a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=3\)
\(VP=\frac{9}{a+b+c}=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a+b+c}\le a+b+c\le3\) ( \(3=a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\le3\) )
\(\Rightarrow\)\(VT\ge VP\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=1\)
này bạn ơi VP làm sao mà bé hơn 3 đc z ?