Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ (x,y) sao cho x+y và 1/x +1/y đều là các số nguyên. bạn nào trả lời nhanh nhất mà đúng thì mik tích cho nhé
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có 20x + 10y = 2010
=> 2x+y = 201
Ta có 201 là số lẻ, 2x là số chẵn
=> y là số lẻ => y có dạng 2k+1
=> x = 100-k (k là số nguyên)
Giải:
\(20x+10y=2010\)
⇔\(2x+y=201\)
\(2x\) là số chẵn \(;\) \(201\) là số lẻ ➩ \(y\) là số lẻ . Đặt \(y\) \(2k+1\)
➩\(2x+2k+1=201\)
⇔\(x=\dfrac{201-2k-1}{2}=100-k\)
Vậy \((x;y)=(100-k;2k+1)+k\) ∈ \(z\) (có ∞ ngiệm)
Do \(x,y\inℚ;x,y\ne0\)nên đặt \(x=\frac{a}{b},y=\frac{c}{d}\)trong đó \(a,b,c,d\inℤ;a,b\ne0;c,d>0\)và \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Ta có:\(x+y=\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}\inℤ\)
\(\Rightarrow ab+bc⋮bd\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad+bc⋮b\\ad+bc⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d⋮b\\b⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow b=d\left(1\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Lại có:\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{b}{a}+\frac{d}{c}=\frac{bc+ad}{ac}\inℤ\)
\(\Rightarrow bc+ad⋮ac\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bc+ad⋮a\\bc+ad⋮c\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}c⋮a\\a⋮c\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=c\left(2\right)\)vì \(\left(a;b\right)=\left(c;d\right)=1\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}\in\left\{\frac{c}{d},-\frac{c}{d}\right\}\Rightarrow x\in\left\{y,-y\right\}\)
Với \(x=y=\frac{a}{b}\)thì khi đó:
\(x+y=\frac{2a}{b}\inℤ\Rightarrow2⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2b}{a}\Rightarrow2⋮a\Rightarrow a\in\left\{1;-1;-2;2\right\}\)
\(\Rightarrow x=y=\frac{a}{b}=\pm1=\pm2=\pm\frac{1}{2}\)
Nếu x=-y thì:
\(x+y=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\left(L\right)\)
Vậy các cặp số \(\left(x;y\right)\)cần tìm là:\(\left(1;1\right);\left(2;2\right);\left(-1;-1\right);\left(-2;-2\right);\left(-\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right);\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Dòng đầu tiên chưa chặt chẽ. Giải thích: c, d >0?
Trường hợp 2 tại sao loại ? x=-y thì x+y=0 là số nguyên và 1/x +1/y cũng là số nguyên.
Lần sau làm bài nhớ khảo lại bài nhé!:)
Xét : x - y = 2( x +y )
=> x - y = 2x + 2y => x - 2x = 2y + y => - x = 2y ( 1 )
Xét : x - y = x : y
=> = [ y + ( - x ) ] = x : y => - ( y + 2y ) = x : y => - 3 y = x : y => x = - 3y2 = > - x = 3y2 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) => 2y = 3y2 <=> 0
Mà y khác 0 vì y là số chia trong x :y
Vậy ko có cặp số x ; y nào thỏa mãn đề bài.
^^ Học tốt!
Xét x-y = 2x + 2y ,ta có:
=>(-x)=3y (1)... xét x-y=x/y,ta lại có:
\(\left(x-y\right)\times y=x\) (quy tắc nhân chéo 2 p/s bằng nhau)...từ đó suy ra:
\(xy-y^2=x\)nên :\(-\left(xy-y^2\right)=\left(-x\right)\)=> \(-xy+y^2=-x\)phá ngoặc nên đổi dấu...
thay (1) vào biểu thức ta có: -xy+y2=3y hay y2-xy=3y
=>y(y-x)=3y suy ra y-x=3 nên y=3+x (2);
Tù (1) và (2) ta có: 3y=3(3+x)= (-x)
hay 9+3x=(-x) nên => 9+3x-(-x)=0 => 9+4x=0 nên x=\(\frac{-9}{4}\)từ đó suy ra
y=\(-\frac{\left(-\frac{9}{4}\right)}{3}\)=>y=\(\frac{9}{4}:3=>y=\frac{3}{4}\)
Do x+y thuộc z=> x và y đều là số nguyên
Mà 1/x + 1/y thuộc Z thì x = y= 1 hoặc x=y=-1