C/minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\) với mọi a.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DG
3
S
22 tháng 6 2019
BĐT\(\Leftrightarrow a^2+3>2\sqrt{a^2+2}\left(\sqrt{a^2+2}\ge\sqrt{0+2}>0\right)\)
\(dat:a^2+2=x\)
\(\Rightarrow BĐT\Leftrightarrow x+1>2\sqrt{x}\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2>4x\left(2\sqrt{x}\ge0\right)\Leftrightarrow x^2+2x+1-4x>0\Leftrightarrow x^2-2x+1>0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2>0\) \(x=a^2+2;a^2\ge0\Rightarrow a^2+2\ge2\Leftrightarrow x\ge2\Rightarrow x-1\ge1\Rightarrow\left(x-1\right)^2>0\)
nen BĐT đuoc chung minh
TL
0
TT
1
15 tháng 7 2022
\(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\dfrac{a^2+2+1}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{a^2+2}\right)\cdot\dfrac{1}{\sqrt{a^2+2}}}=2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:
a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)
\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)
\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng
b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)
\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)
\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
Câu 2:
a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)
\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng
b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 3 2019
Câu 3:
a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)
\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)
\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Câu 4:
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
MK
13 tháng 6 2017
PP: Dùng tương đương thần chưởng !!!
Ý tưởng : Chứng minh 1/\sqrt{1+a^2} + 1/\sqrt{1+b^2} >= 2/\sqrt{1+ab} >= 2/\sqrt{ 1+ (a+b)^2/4 }
._. Bạn biết đăng hình ảnh lên đây không mình làm ra rùi chụp cho (:
8 tháng 9 2019
a,Có \(\frac{a+8}{\sqrt{a-1}}\ge6\) (a>1) (1)
<=> \(a+8\ge6\sqrt{a-1}\)
<=> \(a^2+16a+64\ge36a-36\)
<=> \(a^2-20a+100\ge0\)
<=> \(\left(a-10\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi a)
Dấu "="xảy ra <=> a=10
=> (1) đc CM
b, Áp dụng bđt cosi với hai số dương có
\(\sqrt{a^2+1}\le\frac{a^2+1+1}{2}=\frac{a^2+2}{2}\)
=> \(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge\frac{a^2+2}{\frac{a^2+2}{2}}=\frac{2\left(a^2+2\right)}{a^2+2}=2\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 6 2019
a/ Bình phương 2 vế:
\(\frac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\le\frac{a+b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT được chứng minh
b/ Bình phương:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+2\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2}\ge ac+bd\)
\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)
\(\Leftrightarrow a^2d^2-2abcd+b^2c^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
\(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}=\sqrt{a^2+2}+\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\ge2\)
Dấu "=" xr khi \(\sqrt{a^2+2}=\frac{1}{\sqrt{a^2+2}}\Leftrightarrow a^2+2=1\left(vn\right)\)=> dấu "=" ko xra
=> \(\frac{a^2+3}{\sqrt{a^2+2}}>2\forall a\)
Chị check thử câu trả lời của em bên h xem sao ạ (nếu ko truy cập được xin ib ạ,em gửi full link):
Câu hỏi của Đừng gọi tôi là Jung Hae Ri - Toán lớp 9 | Học trực tuyến