Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn:xy+yz+3zx=1.Tìm GTNN P=\(x^2+y^2+z^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
0
NM
0
12 tháng 10 2018
đầu tiên ta chứng minh với x,y,z,t bất kì thì:
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (*)
thật vậy bđt (*) tương đương với:
\(x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge xz+yt\)
bđt trên đúng vì theo bđt bunhia cốp xki
\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge\sqrt{\left(xz+yt\right)^2}=|xz+yt|\ge xz+yt\)
Áp dụng (*) ta có:
\(P=\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(x^2+y^2\right)^2}+\sqrt{4+z^2}\)
\(\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\sqrt{36+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Ta có:
\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2x+2y+2z+2xy+2yz+2zx=2.6=12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{36+3}=3\sqrt{5}\)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2019
Ta có đánh giá: \(\frac{1}{x^2+x}\ge\frac{5-3x}{4}\) \(\forall x>0\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\Leftrightarrow4\ge\left(x^2+x\right)\left(5-3x\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^3-2x^2-5x+4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(3x+4\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall x>0\))
Tương tự ta có: \(\frac{1}{y^2+y}\ge\frac{5-3y}{4}\) ; \(\frac{1}{z^2+z}\ge\frac{5-3z}{4}\)
Cộng vế với vế: \(P\ge\frac{15-3\left(x+y+z\right)}{4}=\frac{15-9}{4}=\frac{3}{2}\)
\(P_{min}=\frac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
NM
0
VH
19 tháng 6 2019
Ta luôn có:
\(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)\(=3\); dấu "=" xảy ra ⇔\(x=y=z\)
\(x\le\frac{x^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(x=1\)
\(y\le\frac{y^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(y=1\)
\(z\le\frac{z^2+1}{2}\); dấu "=" xảy ra ⇔ \(z=1\)
Suy ra: \(x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+3}{2}=\frac{6}{2}=3\)
Do đó: \(P_{max}=xy+yz+zx+\frac{5}{x+y+z}\le3+\frac{5}{3}=\frac{14}{3}\)
Dấu "=" xảy ra ⇔ x=y=z=1
Kiểu BĐT bất đối xứng kết quả cực xấu, mình nêu hướng chung, bạn tự giải, chứ kết quả toàn căn thức nhìn đã mất cảm tình rồi:
Ở ngoài nháp, phân tích như sau:
Dự đoán điểm rơi \(x=z\)
Ta thiết lập lần lượt các đánh giá:
\(a\left(x^2+z^2\right)\ge2axz\) ; \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\); \(z^2+b^2y^2\ge2byz\) (1)
Cộng vế với vế:
\(\left(a+1\right)x^2+2b^2y^2+\left(a+1\right)z^2\ge2bxy+2byz+2axz\)
Để vế trái là \(k.P\) và vế phải là \(n\left(xy+yz+3xz\right)\) thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}a+1=2b^2\\\frac{a}{b}=\frac{3}{1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow2b^2-3b-1=0\Rightarrow b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\)
Vậy là xong, thay lần lượt a; b vừa tìm được vào (1) và làm vào giấy:
\(\frac{9+3\sqrt{17}}{2}\left(x^2+z^2\right)\ge\left(9+3\sqrt{17}\right)xz\)
....
Tương tự và cộng lại sau đó chia vế phải cho \(a+1=...\) là xong