Question

[senorita]

Tam giác ABC có độ dài các cạnh là số nguyên. Tam giác ABC nội tiếp (O) có R=3,125. Tính các cạnh của tam giác ABC

Answer 1

[Trần Phúc Khang]

Bạn vẽ hình  nhé

Xét tam giác AOB

=> \(AO+OB>AB\)(bất đẳng thức tam giác )

=> \(AB< 6.25\)                                                          => \(a,b,c< 6.25\)

Tương tự \(AC< 6.25\),\(BC< 6.25\)

Sử dụng công thức herong  và công thức tính S tam giác ta có

\(S=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)(p là nửa chu vi tam giác )

\(S=\frac{abc}{4R}\)

=> \(\frac{abc}{R}=\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}\)

Mà a,b,c là các số tự nhiên , \(\frac{abc}{4R}=\frac{abc}{12.5}\)là số hữu tỉ

=> \(\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)}\)là số tự nhiên

=> \(\frac{abc}{R}\)là số tự nhiên

=> \(\frac{8abc}{25}\)là số tự nhiên 

Mà \(a,b,c< 6.25\)

=> 2 trong 3 số sẽ chia hết cho 5 => 2 trong 3 số sẽ bằng 5

Vì vai trò của a,b,c như nhau 

Giả sử a=b=5

Thay vào công thức

=> \(8c=\sqrt{\left(10+c\right)\left(10-c\right)\left(c\right)\left(c\right)}\)

=> \(64c^2=100c^2+c^4\)

=> \(c=6\)

Vậy ba cạnh của tam giác là 5,5,6