cho x+y=1 .Tìm gtln của biểu thức M=x^3+y^3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
SP
2
11 tháng 5 2019
Ta có :
M = x3 + y3 = ( x + y ) ( x2 - xy + y2 ) = x2 + y2 - xy = ( x2 + 2xy + y2 ) - 3xy
= 1 - 3xy
Mà \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)\(\Rightarrow3xy\le\frac{3.\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow-3xy\ge-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow M=1-3xy\ge1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)x = y = 0,5
T
12 tháng 5 2019
Sửa đề là tìm min nhé! :) Em có một cách khác,khác với cách mà mọi người hay làm như sau:
Với mọi số thực k không âm,ta luôn có: \(\left(x+k\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(x+k\right)\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3-x^2+\frac{1}{4}x+kx^2-kx+\frac{1}{4}k\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3+\left(k-1\right)x^2-\left(k-\frac{1}{4}\right)x+\frac{1}{4}k\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\ge-\left(k-1\right)x^2+\left(k-\frac{1}{4}\right)x-\frac{1}{4}k\)
Chọn k = 1 ta được: \(x^3\ge\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}\).Tương tự với y ta được: \(y^3\ge\frac{3}{4}y-\frac{1}{4}\)
Cộng theo vế hai BĐT trên,ta được: \(M=x^3+y^3\ge\frac{3}{4}\left(x+y\right)-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1/2
Vậy...
NH
15 tháng 5 2021
Ta có: 3x + y = 1 => y = 1 - 3x
a, Thay y = 1 - 3x vào M, ta có:
\(\Rightarrow M=3x^2+\left(1-3x\right)^2=3x^2+1-6x+9x^2=12x^2-6x+1=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{3}\right)\)
\(=3\left(4x^2-2x+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{12}=3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)
Vì \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow3\left(2x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\forall x\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x-\frac{1}{2}=0\\3x+y=1\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4}\)
Vậy GTNN M = 1/4 khi x = y = 1/4
b, Thay y = 1 - 3x vào N
\(\Rightarrow N=x\left(1-3x\right)=x-3x^2=-3\left(x^2-\frac{x}{3}+\frac{1}{36}-\frac{1}{36}\right)\)
\(=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2-3.\left(-\frac{1}{36}\right)=-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\)
Vì \(\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-3\left(x-\frac{1}{6}\right)^2+\frac{1}{12}\le\frac{1}{12}\forall x\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{6}=0\\3x+y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{6}\\y=1-3x=1-3.\frac{1}{6}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy GTLN N = 1/12 khi x = 1/6 và y = 1/2
ta có : x+y=1
\(\Leftrightarrow x=1-y\)
khi đó ta có biểu thức M =(1-y)3+y3
= 1-3y+3y2-y3+y3
=3y2-3y+1
= 3(y2-y)+1
=3(y2-2.\(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\))+1-3.\(\frac{1}{4}\)
= 3 (y-\(\frac{1}{2}\))2 +\(\frac{1}{4}\)\(\le\frac{1}{4}\)
Để M =\(\frac{1}{4}\)thì :
\(\Leftrightarrow3\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x-\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
Vậy Max M =\(\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)
mk thiếu y=1-\(\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)