\(a) CM: AOHM nội tiếp b) tam giác MHK là tam giác gì? Vì sao ? c) CM: OH là phân giác góc MOK d) Gọi P là hình chiếu của K lên AB. Xác định vị trí điểm K để chu vi tam giác OPK lớn nhất\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AT
5 tháng 6 2021
a) Vì M là điểm chính giữa cung AB \(\Rightarrow OM\bot AB\Rightarrow\angle AOM=90=\angle AHM\)
\(\Rightarrow AOHM\) nội tiếp
b) MKBA nội tiếp \(\Rightarrow\angle MKA=\angle MBA=45\) (M là điểm chính giữa)
\(\Rightarrow\Delta MHK\) vuông cân tại H
c) Chu vi của tam giác OPK là: \(OP+OK+PK\)
Ta có: \(\left(OP+OK+PK\right)^2\le3\left(OP^2+OK^2+PK^2\right)\) (BĐT Bunhia)
\(\Rightarrow OP+OK+PK\le\sqrt{3\left(OK^2+OP^2+PK^2\right)}=\sqrt{3.2OK^2}=\sqrt{6}OK\)
Để chu vi tam giác OPK lớn nhất \(\Rightarrow\) OK lớn nhất \(\Rightarrow\) K là điểm chính giữa cung BM
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 4 2018
Lời giải:
a)
Vì $M$ là điểm chính giữa cung $AB$ nên $MA=MB$
Do đó tam giác $MAB$ cân tại $M$, suy ra đường trung tuyến $MO$ đồng thời là đường cao, hay \(MO\perp AB\Leftrightarrow \widehat{MOA}=90^0\)
Tứ giác $MHOA$ có hai góc cùng nhìn cạnh $OA$ là \(\widehat{MOA}=\widehat{MHA}=90^0\) nên $MHOA$ là tứ giác nội tiếp.
b)
Ta có:
\(\widehat{MKH}=\widehat{MKA}=\frac{1}{2}\widehat{MOA}\) (góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung MA)
\(\Rightarrow \widehat{MKH}=\frac{1}{2}.90^0=45^0\)
Tam giác $MKH$ vuông tại $H$ có góc $K$ bằng $45$ độ nên là tam giác vuông cân.
c)
Vì $AMHO$ nội tiếp (theo phần a) nên \(\widehat{MOH}=\widehat{MAH}\)
Mà \(\widehat{MAH}=\widehat{MAK}=\frac{1}{2}\widehat{MOK}\) (góc nội tiếp có số đo bằng một nửa góc ở tâm cùng chắn một cung MK)
\(\Rightarrow \widehat{MOH}=\frac{1}{2}\widehat{MOK}\) hay \(2\widehat{MOH}=\widehat{MOK}\)
\(\Rightarrow \widehat{KOH}=\widehat{MOK}-\widehat{MOH}=\widehat{MOH}\)
Do đó $OH$ là phân giác \(\widehat{MOK}\)
d)
Chu vi tam giác \(OPK: C=OP+PK+OK=R+OP+PK\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(OP^2+PK^2\geq 2OP.PK\)
\(\Rightarrow 2(OP^2+PK^2)\geq (OP+PK)^2\)
\(2OK^2\geq (OP+PK)^2\Leftrightarrow OP+PK\leq \sqrt{2OK^2}=\sqrt{2}R\)
Do đó:
\(C=R+OP+PK\leq R+\sqrt{2}R=R(\sqrt{2}+1)\)
Vậy \(C_{\max}=R(\sqrt{2}+1)\). Giá trị lớn nhất đạt được khi \(OP=KP\Leftrightarrow \triangle OKP\) vuông cân \(\Leftrightarrow \widehat{KOP}=45^0\Leftrightarrow OK\) là phân giác \(\widehat{MOB}\Leftrightarrow K\) là điểm chính giữa cung MB.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
12 tháng 4 2018
Ly Po: BĐT Cauchy hay Cô-si mình nhớ lớp 8,9 học rồi mà nhỉ?
Nếu không thì bạn thực hiện biến đổi tương đương cũng đc.
\(OP^2+PK^2-2OP.PK=(OP-PK)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow OP^2+PK^2\geq 2OP.PK\)
30 tháng 5 2016
Ta giải như sau :
a) 1. Góc ACF + Góc BAC = 90 độ ; Góc EBA + BAC = 90 độ => Góc ACF = Góc EBA (cùng phu với Góc BAC)
Mà ACF và EBA là hai góc chắn cung EF của tứ giác EFBC và bằng nhau
=> Tứ giác EFBC nội tiếp.
2. Ta có : BE vuông góc với AC tại E ; CK vuông góc với AC tại C (Vì góc ACK chắn nửa cung tròn đường kính AK)
=> BE // CK (1)
Tương tự ta cũng có : BK // CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb)
b) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm HK
Xét tam giác AHK có AM và HO lần lượt là hai đường trung tuyến ( AO = OK ; HM = MK) cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm tam giác AHK
Lại có AM là đường trung tuyến tam giác ABC và I thuộc AM => I là trọng tâm tam giác ABC
c) Mình chưa nghĩ ra :))
30 tháng 5 2016
giải như sau :
a) 1. Góc ACF + Góc BAC = 90 độ ; Góc EBA + BAC = 90 độ => Góc ACF = Góc EBA (cùng phu với Góc BAC)
Mà ACF và EBA là hai góc chắn cung EF của tứ giác EFBC và bằng nhau
=> Tứ giác EFBC nội tiếp.
2. Ta có : BE vuông góc với AC tại E ; CK vuông góc với AC tại C (Vì góc ACK chắn nửa cung tròn đường kính AK)
=> BE // CK (1)
Tương tự ta cũng có : BK // CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BHCK là hình bình hành (dhnb)
b) Vì tứ giác BHCK là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà M là trung điểm của BC => M cũng là trung điểm HK
Xét tam giác AHK có AM và HO lần lượt là hai đường trung tuyến ( AO = OK ; HM = MK) cắt nhau tại I
=> I là trọng tâm tam giác AHK
Lại có AM là đường trung tuyến tam giác ABC và I thuộc AM => I là trọng tâm tam giác ABC
?? đề bài đâu