Question

[Đinh Cẩm Vân]

Tìm các số tự nhiên x,y sao cho : \(\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{8}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$\frac{x}{9}-\frac{3}{y}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow \frac{xy-27}{9y}=\frac{1}{8}$

$\Rightarrow 8(xy-27)=9y$

$\Rightarrow 8xy-216 = 9y$

$\Rightarrow 8xy=9y+216\vdots 9$

$\Rightarrow x\vdots 9$ hoặc $y\vdots 9$

Nếu $x\vdots 9$. Đặt $x=9x_1$ với $x_1$ nguyên. Khi đó:

$72x_1y-216=9y$

$\Rightarrow 8x_1y-24=y$

$\Rightarrow y\vdots 8$. Đặt $y=8y_1$

$\Rightarrow 64x_1y_1-24=8y_1$

$\Rightarrow 8x_1y_1-3=y_1$
$\Rightarrow y_1(8x_1-1)=3$

Xét các TH: 

TH1: $y_1=1, 8x_1-1=3\Rightarrow x_1=\frac{1}{2}$ (loại) 

TH2: $y_1=-1, 8x_1-1=-3\Rightarrow x_1=\frac{-1}{4}$ (loại) 

TH3: $y_1=3, 8x_1-1=1\Rightarrow x_1=\frac{1}{4}$ (loại) 

TH4: $y_1=-3, 8x_1-1=-1\Rightarrow y_1=-3; x_1=0$

$\Rightarrow x=0; y=-24$

Nếu $y\vdots 9$. Đặt $y=9y_1$ với $y_1$ nguyên. Khi đó:

$72xy_1=81y_1+216$

$\Rightarrow 8xy_1=9y_1+24$

$\Rightarrow 9y_1=8xy_1-24\vdots 8$

$\Rightarrow y_1\vdots 8\Rightarrow y_1=8y_2$ với $y_2$ nguyên.

Khi đó:

$64xy_2=72y_2+24$

$\Rightarrow 8xy_2=9y_2+3$

$y_2(8x-9)=3$

Xét các TH:

$y_2=1, 8x-9=3\Rightarrow x=\frac{12}{8}$ (loại) 

$y_2=-1, 8x-9=-3\Rightarrow x=\frac{6}{8}$ (loại) 

$y_2=-3, 8x-9=-1\Rightarrow y_2=-3; x=1\Rightarrow y=-216; x=1$

$y_2=3, 8x-9=1\Rightarrow x=\frac{10}{8}$ (loại)

Vậy.........