12) Cho tam giác ABC vuông tại A có B^ = 60 độ. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BA = BD. Tia phân giác của góc B cắt AC tại I.
a) Chứng minh tam giác BAD đều.
b) Chứng minh tam giác IBC cân.
c) Chứng minh D là trung điểm của BC
d) Cho AB = 6cm. Tính BC, AC
a, BA = BD (gt)
=> tam giác ABD cân tại B (đn)
góc ABC = 60 (gt)
=> tam giác ABD đều (dấu hiệu)
b) ta có \(\widehat{A}\)=90 độ và \(\widehat{B}\)=60 độ => \(\widehat{C}\)=30 độ (1)
Mà BI là p/g của \(\widehat{B}\)=> \(\widehat{IBC}\)=30 độ(2)
từ (1) và (2) => t.giác IBC cân tại I
c) xét 2 tam giác BIA và BID có: \(\widehat{A}\)+\(\widehat{AIB}\)+\(\widehat{IBA}\)+\(\widehat{IBD}\)+\(\widehat{BDI}\)+\(\widehat{DIB}\)=360 độ
=> \(\widehat{AID}\)=120 độ
=> \(\widehat{DIC}\)=60 độ
xét t.giác BIA và t.giác CID có:
DI=AI(t.giác BIA=t.giác BID)
\(\widehat{BIA}\)=\(\widehat{DIC}\)=60 độ
IB=IC(vì t.giác IBC cân)
=> t.giác BIA=t.giác CID(c.g.c)
=> BA=CD mà BA=BD=> BD=DC
=> D là trung điểm của BC
c) vì AB=1/2 BC nên BC=12 cm
áp dụng định lí py-ta-go ta có:
\(BC^2=AB^2+AC^2\)
=> \(AC^2\)=\(BC^2-AB^2\)
=> \(AC^2\)=144 - 36=108 cm
=> AC= \(\sqrt{108}\)(cm)
vậy BC=12 cm; AC= \(\sqrt{108}\)cm