K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

30 tháng 4 2019

P=a2b+ab2-\(\frac{\left(a+b\right)^2-2ab}{6a^2b^2}\)=a2b+ab2-\(\frac{\left(4ab\right)^2-2ab}{6a^2b^2}\)=a2b+ab2-\(\frac{16a^2b^2}{6a^2b^2}\)+\(\frac{2ab}{6a^2b^2}\)

=a2b+ab2-\(\frac{8}{3}\)+\(\frac{1}{3ab}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta được:

P==a2b+ab2-\(\frac{8}{3}\)+\(\frac{1}{3ab}\)\(\ge\)3.\(\sqrt[3]{a^3b^3\frac{8}{3}}\)+\(\frac{1}{3ab}\)=\(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\).ab+\(\frac{1}{3ab}\)

Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta được:

P=\(\frac{6}{\sqrt[3]{3}}\).ab+\(\frac{1}{3ab}\)\(\ge\)2.\(\sqrt{\frac{6}{\sqrt[3]{3}}.ab.\frac{1}{3ab}}\)=\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[6]{3}}\)

Vậy MinP=\(\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[6]{3}}\)

30 tháng 4 2019

\(-\frac{8}{3}\)có phải là số không âm đâu mà áp dụng BĐT Cosi

24 tháng 7 2019

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có  ( 1 + a 2 ) ( 1 + b 2 ) ≥ 1 + a b = 1 + a + b (1)

Với mọi x, y > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

1 x + 1 y ( x + y ) ≥ 2 1 x . 1 y .2 x y = 4 ⇒ 1 x + 1 y ≥ 4 x + y (2)

Áp dụng (1) và (2) ta có:

P ≥ 4 a 2 + 2 a + b 2 + 2 b + 1 + a + b = 4 a 2 + b 2 + 2 a b + 1 + a + b = 4 ( a + b ) 2 + a + b 8 + 7 ( a + b ) 8 + 1

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

a + b = a b ≤ ( a + b ) 2 4 ⇒ ( a + b ) 2 ≥ 4 ( a + b ) ⇒ a + b ≥ 4

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

4 ( a + b ) 2 + a + b 16 + a + b 16 ≥ 3 4 ( a + b ) 2 . a + b 16 . a + b 16 3 = 3 4 ⇒ P ≥ 3 4 + 7 8 .4 + 1 = 21 4

Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 21/4 

NV
12 tháng 5 2021

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\dfrac{3}{2}\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}\left(a+b\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)

Tương tự:

\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\) ; \(\sqrt{2c^2+ca+2a^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(c+a\right)\)

Cộng vế với vế:

\(P\ge\sqrt{5}\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{\sqrt{5}}{3}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^3=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{9}\)

23 tháng 12 2016

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(6=2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+c\left(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\right)\)

\(\ge4+\frac{c\left(a^3+b^3\right)}{a^2b^2}\ge4+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\)\(\Rightarrow\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\in\text{(}0;2\text{]}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz lại có:

\(P\ge\frac{\left(bc+ca\right)^2}{2abc\left(a+b+c\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)\(\ge\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left(1+\frac{ca}{ab}+\frac{bc}{ab}\right)^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

\(=\frac{\frac{3c^2\left(a+b\right)^2}{a^2b^2}}{2\left[1+\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\right]^2}+\frac{4}{\frac{c\left(a+b\right)}{ab}}\)

Đặt \(x=\frac{c\left(a+b\right)}{ab}\left(x\in\text{(}0;2\text{]}\right)\) khi đó ta có:

\(P\ge\frac{3x^2}{2\left(1+x\right)^2}+\frac{4}{x}\) cần chứng minh \(P\ge\frac{8}{3}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(7x^2+22x+12\right)\le0\forall x\in\text{(0;2]}\)

Vậy \(Min_P=\frac{8}{3}\) khi a=b=c=2

23 tháng 12 2016

Chỗ dùng cauchy- schwarz mình không hiểu lắm