Đề này mị tự nghĩ ra
Cho \(a,b,c>0\)thõa mãn \(ab+bc+ca=1\)
Tìm \(GTNN\)của \(P=\frac{1}{1-\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{1-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{1-\left(c+a\right)^2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
VT
27 tháng 12 2017
ta có A=\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}\)
mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Rightarrow\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+...\)
Áp dụng bđt co si ta có , \(\frac{a^2}{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\)
tương tự mấy cái kia rồi + vào thì A>=...
3 tháng 10 2020
Ta có: \(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow4.2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a+2011a-2\right)^2=4\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2011a\left(2011a-2\right)\le\left(2011a-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}-\frac{2011a\left(2011a-2\right)}{\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}-1\)
Tương tự: \(\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}\ge\frac{1}{b}-1;\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{c}-1\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a\left(2011a-1\right)^2}+\frac{1}{b\left(2011b-1\right)^2}+\frac{1}{c\left(2011c-1\right)^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-3=2011-3=2008\)
Sai thì thôi nhá bẹn!
ML
18 tháng 8 2016
\(3\left(2a^2+b^2\right)=\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a^2+a^2+b^2\right)\ge\left(a+a+b\right)^2=\left(2a+b\right)^2\)
\(P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\frac{1}{2a+b}=\frac{1}{a+a+b}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
\(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Đặt \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\)
\(gt\rightarrow7\left(x^2+y^2+z^2\right)=6\left(xy+yz+zx\right)+2015\)
\(\Leftrightarrow7\left(x+y+z\right)^2=20\left(xy+yz+zx\right)+2015\)
Ta có: \(3\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow7\left(x+y+z\right)^2\le\frac{20}{3}\left(x+y+z\right)^2+2015\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2\le2015\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le\sqrt{6045}\)
\(P\le\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)\le\frac{\sqrt{6045}}{3}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{6045}}{3}\)hay \(a=b=c=\left(\frac{\sqrt{6045}}{3}\right)^{-1}\)
LV
13 tháng 8 2017
\(P=\frac{a^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{c^3}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}-1\)
\(1=ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c\ge\sqrt{3}\)
\(P=\frac{1}{1-\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{1-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{1-\left(c+a\right)^2}\ge\frac{9}{3-\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]}\)
\(\ge\frac{9}{3-\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{3}}=\frac{9}{3-\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{3}}\ge\frac{9}{3-\frac{4.\left(\sqrt{3}\right)^2}{3}}=\frac{9}{3-4}=\frac{9}{-1}=-9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc=1\)
\(P=\frac{1}{1-\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{1-\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{1-\left(c+a\right)^2}\)
\(P\ge\frac{9}{3-\left[\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(c+a\right)^2\right]}=\frac{9}{3-2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2\left(ab+ac+bc\right)}\)
\(\ge\frac{9}{3-2-2}=-9\)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c
ab + ac + bc =1 <=> 3a^2 = 1 <=> a^2 = 1/3 \(\Rightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3}\) (Do a dương)
\(\Rightarrow b=c=a=\frac{\sqrt{3}}{3}\)