Từ 1 điểm M ở ngoài đường tròn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD⊥AB, CE⊥MA, CF⊥MB. Gọi I là giao điểm của AC và DF. Chứng minh:
a) Tứ giác AECD, BFCD nội tiếp.
b) CD2 = CE.CF
c) Tứ giác IKCD nội tiếp
d) IK⊥CD
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CM
18 tháng 5 2019
( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC)
CM
13 tháng 8 2019
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC) (2)
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung CB) (5)
ML
6 tháng 5 2018
a. Vì \(CE\perp MA\)tại E (gt) => \(\widehat{AEC}=90^o\)
\(CD\perp AB\)tại D=> \(\widehat{ADC}=90^o\)
Xét tứ giác AECD có: \(\widehat{AEC}+\widehat{ADC}=90^o+90^o=180^o\)=> AECD là tứ giác nội tiếp đt \((G,R=\frac{AC}{2})\)trong đó G là trung điểm của AC (dhnb)
Cmtt ta có: BFCD là tứ giác nội tiếp đt \((H,R=\frac{BC}{2})\)trong đó H là trung điểm của BC
b.
Vì AECD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{EC}\)) (1)
Do MA là tiếp tuyến của đt(O) (gt)=> \(\widehat{EAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)(t/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét đt (O) có: \(\widehat{ABC}=\widehat{DBC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\)(t/c góc nội tiếp) => \(\widehat{EAC}=\widehat{DBC}\)(2)
vì BFCD là tứ giác nội tiếp => \(\widehat{DBC}=\widehat{DFC}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{DC}\)) (3)
Từ (1),(2) và (3) => \(\widehat{EDC}=\widehat{DFC}\)
do AECD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CED}=\widehat{CAD}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CD}\)) (4)
Vì MB là tiếp tuyến của đt (O) tại B (gt) => \(\widehat{CBF}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)(T/c góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Xét đt (O) có: \(\widehat{BAC}=\widehat{DAC}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}\)(t/c góc nội tiếp) => \(\widehat{CBF}=\widehat{DAC}\)(5)
lại có: BFCD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CBF}=\widehat{CDF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CF}\)) (6)
Từ (4), (5) và (6) => \(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)
Xét \(\Delta ECD\)và \(\Delta DCF\)có:
\(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)(Cmt)
\(\widehat{EDC}=\widehat{DFC}\)(Cmt)
=> \(\Delta ECD~\Delta DCF\)(g.g) => \(\frac{EC}{DC}=\frac{CD}{CF}\Rightarrow CD^2=CE\times CF\)(Đpcm)
c. Vì I là giao điểm của AC và DE (gt) => \(I\in AC\)
K là giao điểm của BC và DF (gt) => \(K\in BC\)
=> \(\widehat{ICK}=\widehat{ACB}\)
Vì \(\widehat{EDC}=\widehat{ABC}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{IDC}=\widehat{ABC}\left(do\overline{E,I,D}\Rightarrow\widehat{EDC}=\widehat{IDC}\right)\)
\(\widehat{CDF}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{CDK}=\widehat{BAC}\left(do\overline{F,K,D}\Rightarrow\widehat{CDF}=\widehat{CDK}\right)\)
Xét tứ giác ICKD có : \(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICK}+\widehat{IDC}+\widehat{CDK}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\)
(Áp dụng định lý tổng 3 góc trong \(\Delta ABC\)ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180^o\))
=> Tứ giác ICKD là tứ giác nội tiếp (dhnb) => 4 điểm I,C,K,D cùng thuộc 1 đường tròn (đpcm)
d. Vì ICKD là tứ giác nội tiếp (cmt) => \(\widehat{CIK}=\widehat{CDK}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn \(\widebat{CK}\))
Lại có: \(\widehat{CDK}=\widehat{BAC}\)(Cmt) => \(\widehat{CIK}=\widehat{BAC}\)mà 2 góc này ở vị tri đồng vị => IK // AB (Dhnb)
Do \(CD\perp AB\left(gt\right)\)=> \(IK\perp CD\)(Quan hệ tính vuông góc và tính song song của 3 đt)