Cho 2^n =10a+b với a,b,n là các số nguyên dương và b<10.c/m nếu n>3 thì ab chia hết cho 6.?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
EG
1 tháng 2 2018
a) Gọi a+4b là c, 10a+b là d.Ta có:
a+4b= c
10a+b = d
=> 3a+ 12b =3c
10a + b = d
=> 3c+d = 10a+3a+12b+b = 13a + 13b =13(a+b) => 3c + d chia hết cho 13
Mà: 3c+d chia hết cho 13
3c chia hết cho 13
=> d chia hết cho 13 hay 10a+ b chia hết cho 13
HD
17 tháng 12 2015
a; Đặt A= \(a^{2017}+a^{2015}+1\)
\(=a^4\left(a^{2013}-1\right)+a^2\left(a^{2013}-1\right)+a^4+a^2+1\)=\(a^4\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+a^2\left(\left(a^3\right)^{671}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\)
= \(\left(a^2+a+1\right)F\left(a\right)\) (trong đó F(a) là đa thức chứa a)
\(\Rightarrow A\) chia hết cho \(a^2+a+1\)
do \(a^2+a+1\) > 1 (dễ cm đc)
mà A là số nguyên tố
\(\Rightarrow A=a^2+a+1\)
hay \(a^{2017}+a^{2015}+1=a^2+a+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(a\left(a^{2015}-1\right)+\left(a^{2014}-1\right)\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-1\right).G\left(a\right)=0\) ( bạn đặt nhân tử chung ra)
do a dương => a>0 => a-1=0=> a=1(t/m)
Kết Luận:...
chỗ nào bạn chưa hiểu cứ nói cho mình nha :3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 12 2017
Lời giải:
Với \(n>3\Rightarrow 10a+b=2^n\vdots 2\). Mà \(10a\vdots 2\) nên suy ra \(b\vdots 2\)
Do đó \(ab\vdots 2(1)\)
----------------------------
Vì $b$ là số nguyên dương chẵn và thỏa mãn \(b< 10\Rightarrow b\in\left\{2;4;6;8\right\}\)
TH1: Nếu \(b=2\Rightarrow 2^n=10a+b=10a+2\)
Một số chính phương chia 5 chỉ có thể có dư là \(0,1,4\) mà $10a+2$ chia $5$ dư $2$ nên $n$ không thể là số chẵn.
Do đó $n$ lẻ
\(\Rightarrow 10a+2=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\equiv 2\pmod 3\)
\(\Rightarrow 10a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)
\(\Rightarrow ab\vdots 3\)
TH2: \(b=4\Rightarrow 2^n=10a+4\)
\(\Rightarrow 2^n-4=10a\vdots 5\) (*)
Nếu \(n\) lẻ :
\(2^n-4=2^{2k+1}-4=4^k.2-4\equiv (-1)^k.2-4\equiv -2,-6\not\equiv 0\pmod 5\)
(trái với (*))
Do đó $n$ chẵn.
\(\Rightarrow 10a+4=2^n\equiv (-1)^n\equiv 1\pmod 3\)
\(\Rightarrow 10a\equiv -3\equiv 0\pmod 3\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\)
Do đó \(ab\vdots 3\)
TH3: \(b=6\vdots 3\Rightarrow ab\vdots 3\)
TH4: \(b=8\Rightarrow 10a+8=2^n\)
Vì \(10a+8=5(2a+1)+3\) chia 5 dư 3 nên $10a+8$ không thể là số chính phương
Do đó \(n\) lẻ \(\Rightarrow 10a+8=2^n\equiv (-1)^n\equiv -1\pmod 3\)
\(\Rightarrow 10a\equiv -9\equiv 0\pmod 3\)
\(\Rightarrow a\equiv 0\pmod 3\Rightarrow ab\vdots 3\)
Vậy trong mọi TH thì \(ab\vdots 3(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(ab\vdots 6\)
Ta có đpcm.
24 tháng 7 2023
Để chứng minh rằng tích ab chia hết cho 6, ta cần chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 2 và một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3.
Giả sử a chia hết cho 2, khi đó a có thể là 2, 4, 6 hoặc 8. Ta sẽ xét từng trường hợp:
-
Nếu a = 2, thì n = 10a + b = 20 + b. Vì n > 3, nên b > 0. Khi đó, tích ab = 2b chia hết cho 2.
-
Nếu a = 4, thì n = 10a + b = 40 + b. Vì n > 3, nên b > -37. Khi đó, tích ab = 4b chia hết cho 2.
-
Nếu a = 6, thì n = 10a + b = 60 + b. Vì n > 3, nên b > -57. Khi đó, tích ab = 6b chia hết cho 2.
-
Nếu a = 8, thì n = 10a + b = 80 + b. Vì n > 3, nên b > -77. Khi đó, tích ab = 8b chia hết cho 2.
Ta đã chứng minh được rằng nếu a chia hết cho 2, thì tích ab chia hết cho 2.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng một trong hai số a hoặc b chia hết cho 3. Ta có thể sử dụng phương pháp tương tự như trên để chứng minh điều này.
Vì tích ab chia hết cho cả 2 và 3, nên tích ab chia hết cho 6.
Vậy, ta đã chứng minh được rằng nếu n = 10a + b (a, b ∈ N, 0 < a < 10), thì tích ab chia hết cho 6.
do n > 3 => 2^n >= 2^4 chia hết cho 16 => 10a + b chia hết cho 16
Ta có 2^n có thể có những tân cùng là 2; 4; 6; 8
TH1 2^n có tận cùng là 2 => n = 4k+1
=> 10a + b có tận cùng là 2 => b = 2 ( do b < 10)
ta có 2^n = 10a + 2 => 2( 2^(4k) - 1) = 10a => 2^( 4k) - 1 = 5a
do 2^(4k) - 1 chia hết cho 3 => 5a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3
=> a.b = a.2 chia hết cho 6 (1)
TH2 2^n có tận cùng là 4 => n = 4k +2
=> 2^n = 10a + b có tận cùng là 4 => b = 4( do b <10)
=> 2^(4k +2) = 10a + 4 => 4.2^(4k) - 4 = 10a
=> 4(2^4k - 1) = 10 a
ta có 2 ^4k -1chia hết cho 3 => 10a chia hết cho 3 => a chia hết cho 3
=> a.b chia hết cho 6 (2)
Th3 2^n có tận cùng là 8 => n = 4k +3
TH 3 2^n có tận cùng là 6 => n = 4k
bằng cách làm tương tự ta luôn có a.b chia hết cho 6
tick cái nha