Cho a,b,c là các số thực dương sao cho ab+bc+ac=3abc. C/m rằng: \(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}\le1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
25 tháng 4 2019
Từ gt\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\Sigma\frac{1}{2a^2+b}=\Sigma\frac{1}{a^2+\left(a^2+b^2\right)}\)\(\le\frac{1}{a^2+2ab}\)\(=\frac{1}{9}\Sigma\frac{9}{a^2+ab+ab}\le\frac{1}{9}\Sigma\frac{1}{a^2}+\frac{2}{ab}\)\(=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=1\)
Dấu = xra khi a=b=c=1.
UK
1 tháng 3 2019
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow \frac{ab+bc+ca}{abc}=3\Leftrightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\)
\(\frac{1}{2a^2+b^2}+\frac{1}{2b^2+c^2}+\frac{1}{2c^2+a^2}=\frac{1}{a^2+(a^2+b^2)}+\frac{1}{b^2+(b^2+c^2)}+\frac{1}{c^2+(c^2+a^2)}\)\(\leq \frac{1}{a^2+2ab}+\frac{1}{b^2+2bc}+\frac{1}{c^2+2ca}\)\(= \frac{1}{9}(\frac{9}{a^2+ab+ab}+\frac{9}{b^2+bc+bc}+\frac{9}{c^2+ca+ca})\)\(\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca})\)\(= \frac{1}{9}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\)
\(= \frac{1}{9}.3^2=1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
28 tháng 2 2020
Trước hết ta chứng minh các bđt : \(a^7+b^7\ge a^2b^2\left(a^3+b^3\right)\left(1\right)\)
Thật vậy:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4\right)\ge0\)(luôn đúng)
Lại có : \(a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b+1\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)
mà \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+1\right)\)(luôn đúng)
Áp dụng các bđt trên vào bài toán ta có
∑\(\frac{a^2b^2}{a^7+a^2b^2+b^7}\le\)∑\(\frac{a^2b^2}{a^3b^3\left(a+b+c\right)}\le\)∑\(\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Bất đẳng thức được chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
28 tháng 2 2020
Em xem lại dòng thứ 4 và giải thích lại giúp cô với! ko đúng hoặc bị nhầm
9 tháng 2 2022
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b+c}{4bc}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}\cdot\frac{b+c}{4bc}}=\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c+a}{4ca}\ge2\sqrt{\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}\cdot\frac{c+a}{4ca}}=\frac{1}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{a+b}{4ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\cdot\frac{a+b}{4ab}}=\frac{1}{c}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}+\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Mà\(\frac{b+c}{4bc}+\frac{c+a}{4ca}+\frac{a+b}{4ab}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)nên:
\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
hay\(\frac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)
Bất đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)
VT
21 tháng 10 2019
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
CM
2 tháng 12 2020
Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)
\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)
\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)
\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z
29 tháng 10 2020
VT=\(\frac{a^2}{ab+\frac{1}{b}}+\frac{b^2}{bc+\frac{1}{c}}+\frac{c^2}{ca+\frac{1}{a}}\)
áp dụng bđt cộng mẫu đc VT \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+\frac{ab+bc+ca}{abc}}\left(1\right)\)
Ta có \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\forall a,b,c\)
Nên \(\left(1\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3abc}}=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{3abc}}=\frac{3abc}{1+abc}\left(đccm\right)\)
dấu bằng xảy ra <> a=b=c