Question

[Vân Trần Thị]

Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất \(\sqrt{x+2+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x+\sqrt{x}}=m\)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\sqrt{4-\left(2-x\right)+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x-\sqrt{x}}=m\) (1)

- Xét điều kiện cần:

Giả sử phương trình có nghiệm \(x_0\) tức là:

\(\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}+\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}=m\) (2)

Thì ta thấy phương trình cũng có nghiệm \(x=2-x_0\), thực vậy, thay \(x=2-x_0\) vào (1) ta được:

\(\sqrt{4-\left(2-\left(2-x_0\right)\right)+\sqrt{2-\left(2-x_0\right)}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)-\sqrt{2-x_0}}=m\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4-x_0+\sqrt{x_0}}+\sqrt{4-\left(2-x_0\right)+\sqrt{2-x_0}}=m\) (thỏa mãn (2))

Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì: \(x_0=2-x_0\Rightarrow x_0=1\)

Thay \(x_0=1\) vào (2) ta được: \(m=4\)

- Điều kiện đủ: khi \(m=4\) phương trình trở thành:

\(\sqrt{x+2+\sqrt{2-x}}+\sqrt{4-x+\sqrt{x}}=4\)

Áp dụng BĐT Bunhia cho vế trái:

\(VT\le\sqrt{\left(1+1\right)\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}=\sqrt{2\left(6+\sqrt{x}+\sqrt{2-x}\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\sqrt{2\left(6+\sqrt{\left(1+1\right)\left(x+2-x\right)}\right)}=\sqrt{2\left(6+2\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2-x\\x+2+\sqrt{2-x}=4-x+\sqrt{x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x=1\)

Vậy pt có nghiệm duy nhất \(x=1\) khi \(m=4\)