\(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\text{≥}6\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
T
7 tháng 10 2017
Lần sau viết rõ yêu cầu đề nhá!
CMR: \(\frac{a}{b+c+1}=\frac{b}{a+c+1}=\frac{c}{a+b+1}=a+b+c\)
Ta có: 3 số a , b , c.Theo tính chất tỉ dãy số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b+c+1}=\frac{b}{a+c+1}=\frac{c}{a+b+1}=a+b+c=1\)
\(\Rightarrow a=b=c=1-3=\left(-2\right)\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\left(-2\right)\)
Ps: Chả biết đúng hay không , nếu sai xin bạn đừng dis, hổm đến giờ mk bị nhiều cái dis lắm rồi!
NM
1
7 tháng 10 2017
Sửa đề:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{b+c+1}=\dfrac{b}{a+c+1}=\dfrac{c}{a+b-2}=\dfrac{a+b+c}{b+c+1+a+c+1+a+b+-2}=\dfrac{a+b+c}{\left(b+c+a+c+a+b\right)+\left(1+1-2\right)}=\dfrac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c+1}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{a+c+1}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{a+c-2}=\dfrac{1}{2}\\a+b+c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c+1=2a\\a+c+1=2b\\a+c-2=2c\\a+b+c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b+c=\dfrac{1}{2}-a\)
Nên \(\dfrac{1}{2}-a+1=2a\)(tự tìm a nhé dễ lắm)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+c=\dfrac{1}{2}-b\)
Nên \(\dfrac{1}{2}-b+1=2b\)(tự tính b)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=\dfrac{1}{2}-c\)
Nên\(\dfrac{1}{2}-c-2=2c\)(tự tính c)
Vậy...
14 tháng 10 2018
\(1)\)\(\frac{\overline{ab}}{b}=\frac{\overline{bc}}{c}=\frac{\overline{ca}}{a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{10a+b}{b}=\frac{10b+c}{c}=\frac{10c+a}{a}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{10a}{b}=\frac{10b}{c}=\frac{10c}{a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{10a}{b}=\frac{10b}{c}=\frac{10c}{a}=\frac{10a+10b+10c}{a+b+c}=\frac{10\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=10\)
Do đó :
\(\frac{10a}{b}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\frac{10b}{c}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c\)
\(\frac{10c}{a}=10\)\(\Leftrightarrow\)\(c=a\)
\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
\(\Rightarrow\)\(A=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+2016=2016\)
\(2)\)\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=\frac{2\left(\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}\right)}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{\overline{ab}+\overline{bc}+\overline{ca}}{a+b+c}\)
\(=\frac{10a+b+10b+c+10c+a}{a+b+c}=\frac{11a+11b+11c}{a+b+c}=\frac{11\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=11\)
Do đó :
\(\frac{\overline{ab}+\overline{bc}}{a+b}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10a+11b+c=11a+11b\)\(\Leftrightarrow\)\(c=a\)
\(\frac{\overline{bc}+\overline{ca}}{b+c}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10b+11c+a=11b+11c\)\(\Leftrightarrow\)\(a=b\)
\(\frac{\overline{ca}+\overline{ab}}{c+a}=11\)\(\Leftrightarrow\)\(10c+11a+b=11c+11a\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c\)
\(\Rightarrow\)\(a=b=c\)
\(\Rightarrow\)\(M=\left(\frac{b}{a}+1\right)\left(\frac{c}{b}+1\right)\left(\frac{a}{c}+1\right)+2016=2.2.2+2016=2024\)
Chúc bạn học tốt ~
T
14 tháng 10 2018
Ta có: \(\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b+c+d}+1=\frac{b}{a+c+d}+1=\frac{c}{a+b+d}+1=\frac{d}{a+b+c}+1\)
hay \(\frac{a+b+c+d}{b+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+c+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+d}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c}\)
Do các tử số trên bằng nhau nên các mẫu số cũng bằng nhau hay \(b+c+d=a+c+d=a+b+d=a+b+c\)
Suy ra a = b =c =d
\(\Rightarrow A=\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{a+d}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}=1+1+1+1=4\)
11 tháng 8 2020
À không mk có 2 nick,nick này là mk mới lập vì nick kia mk bị mất ạ=))
a, b, c cùng dấu nhé bạn , nếu như vậy thì :
Ta cần chứng minh : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
mà \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì a, b cùng dấu nên ab >0 và \(\left(a-b\right)^2\ge0\)nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)hay \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Ta có : \(\frac{a+b}{c}+\frac{a+c}{b}+\frac{b+c}{a}\)\(=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)
\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)\(\ge6\)(đpcm)
Chúc bạn học tốt nhé