chứng tỏ
1/2^2+1/3^2+1/2002^2+1/2003^2<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JG
0
DK
1
29 tháng 7 2018
vì \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1\cdot2}\)(do 22 > 1.2)
\(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)(do 32>2.3)
\(\frac{1}{4^2}< \frac{1}{3.4}\)(do 42 >3.4)
...
\(\frac{1}{2002^2}< \frac{1}{2001.2002}\)(do 20022 > 2001.2002)
\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2002^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2001.2002}\)(2)
Ta có : \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{2001.2002}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2001}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{2002}{2002}-\frac{1}{2002}\)
\(=\frac{2001}{2002}< 1\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2002^2}< 1\)
Bài toán được chứng minh
20 tháng 4 2018
Đặt \(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+......+\frac{1}{2003^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+......+\frac{1}{2002.2003}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+......+\frac{1}{2002}-\frac{1}{2003}\)
\(=1-\frac{1}{2003}< 1\)
Vậy S<1
26 tháng 4 2018
\(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{2002^2}+\dfrac{1}{2003^2}\)
\(A< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2001.2002}+\dfrac{1}{2002.2003}\)
\(A< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{2001}-\dfrac{1}{2002}+\dfrac{1}{2002}-\dfrac{1}{2003}\)
\(A< 1-\dfrac{1}{2003}< 1\)
Vậy \(A< 1\)
CV
3
15 tháng 3 2017
1/2^2 < 1/(1.2)= 1-1/2
1/3^2 <1/(2.3)=1/2-1/3
1/4^2 <1/(3.4)=1/3-1/4
......
1/100^2 < 1/99-1/100
cộng vế với vế ta được 1/2^2 +1/3^2+...< 1-1/2+1/2-1/3+....+1/99-1/100=1-1/100
=> ĐPCM
khó wá
10 tháng 5 2016
Ta có:A=1/21+1/22+1/23+...+1/40(có 20 số hạng)
A>1/40+1/40+...+1/40
A>20/40=1/2(1)
A=1/21+1/22+1/23+...+1/40(có 20 số hạng)
A<1/20+1/20+1/20+...+1/20
A<20/20=1(2)
Từ (1) và (2)=>1/2<A<1
10 tháng 5 2016
Ta có :A=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^100
2A=1+1/2+1/2^2+...+1/2^99
2A-A=(1+1/2+1/2^2+...+1/2^99)-(1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^100)
A=1-1/2^100
Dễ thấy A>0 và 1-1/2^100<1
=>0<A<1
ta có 1/2^2<1/1.2;1/3^2<1/2.3;...;1/2002^2<2001.2002;1/2003^2<1/2002.2003
suy ra 1/1.2+1/2.3+...+1/2001.2002+1/2002.2003
= 1-2/2+1/2-1/3+...+1/2001-1/2002+1/2002-1/2003
=1-1/2003
mà 1/2^2+1/3^2+...+1/2002^2+1/2003^2<1-1/2003<1
Ta có:
1/22 = 1/1.2
1/32 < 1/2.3
1/20022 < 1/2001.2002
1/20032 < 1/2002.2003
Suy ra : 1/22 + 1/32 + 1/20022 + 1/20032 < 1/1.2 + 1/2.3 + 1/2001.2002 + 1/2002.2003
1/22 + 1/32 + 1/20022 + 1/20032 < (1 - 1/2 + 1/2 -1/3 )+(1/2001 - 1/2002 + 1/2002 -1/2003)
1/22 + 1/32 + 1/20022 + 1/20032 < 2/3 +1/2002 -1/2003<1
1/22 + 1/32 + 1/20022 + 1/20032 < 1