Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của CD.
Gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AECF là hình bình hành
b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh ráng tứ giác EIFK là hình chữ nhật
d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
8 tháng 9 2023
a) Ta có:
\(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))
\(DF = FC = \frac{1}{2}CD\) (\(F\) là trung điểm của \(CD\))
\(AB = CD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành)
Suy ra \(AE = CF = EB = DF\)
Xét tứ giác \(AECF\) ta có:
\(AE\) // \(CF\) (do \(AB\) // \(CD\))
\(AE = CF\)
Suy ra \(AECF\) là hình bình hành
b) Vì \(AB = 2AD\) (gt) và \(AB = 2AE\) (do \(E\) là trung điểm của \(AB\))
Suy ra \(AD = AE\)
Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\) // \(DF\) và \(AE = DF\) (cmt)
Suy ra \(AEFD\) là hình bình hành
Mà \(AE = AD\) (cmt)
Suy ra \(AEFD\) là hình thoi
c) Ta có \(AF \bot DE\) (do \(AEFD\) là hình thoi)
và \(AF\) // \(EC\) (\(AECF\) là hình bình hành)
Suy ra \(EC \bot DE\)
Suy ra \(\widehat {IEK} = 90^\circ \)
Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(EF = AE\)
Và \(AE = \frac{1}{2}AB\) (gt)
Suy ra \(EF = \frac{1}{2}AB\)
Xét \(\Delta AFB\) có \(FE\) là đường trung tuyến và \(EF = \frac{1}{2}AB\)
Suy ra \(\Delta AFB\) vuông tại \(F\)
Suy ra \(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90\)
Xét tứ giác \(EIFK\) ta có:
\(\widehat {{\rm{EIF}}} = 90\) (do \(AF \bot DE\))
\(\widehat {{\rm{IEK}}} = 90^\circ \) (cmt)
\(\widehat {{\rm{IFK}}} = 90^\circ \) (cmt)
Suy ra \(EIFK\) là hình chữ nhật
d) \(EIFK\) là hình vuông
Suy ra \(FI = EI\)
Mà \(EI = ID = \frac{1}{2}DE\) ( do \(AEFD\) là hình thoi)
\(FI = IA = \frac{1}{2}AF\) (do \(AEFD\) là hình thoi)
Suy ra \(AF = DE\)
Mà \(AEFD\) là hình thoi
Suy ra \(AEFD\) là hình chữ nhật
Suy ra \(\widehat {{\rm{ADC}}} = 90^\circ \)
Mà \(ABCD\) là hình bình hành (gt)
Suy ra \(ABCD\) là hình chữ nhật
Vậy nếu hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật thì \(EIFK\) là hình vuông
25 tháng 12 2021
Bài 8:
a: Xét tứ giác AEFD có
AE//FD
AE=FD
Do đó: AEFD là hình bình hành
mà AE=AD
nên AEFD là hình thoi
15 tháng 12 2023
a: Ta có: ABCD là hình bình hành
=>AB=CD(1)
Ta có: E là trung điểm của AB
=>\(EA=EB=\dfrac{AB}{2}\left(2\right)\)
Ta có: F là trung điểm của CD
=>\(FC=FD=\dfrac{CD}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra EA=EB=FC=FD
Xét tứ giác AECF có
AE//CF
AE=CF
Do đó: AECF là hình bình hành
b: Xét tứ giác AEFD có
AE//FD
AE=FD
Do đó: AEFDlà hình bình hành
Hình bình hành AEFD có \(AE=AD\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)
nên AEFD là hình thoi
c: Xét tứ giác EBCF có
BE//FC
BE=FC
Do đó: EBCF là hình bình hành
Hình bình hành EBCF có \(EB=BC\left(=\dfrac{AB}{2}\right)\)
nên EBCF là hình thoi
=>EC\(\perp\)BF tại trung điểm của mỗi đường
=>EC\(\perp\)BF tại K và K là trung điểm chung của EC và BF
Ta có: AEFD là hình thoi
=>AF\(\perp\)ED tại trung điểm của mỗi đường
=>AF\(\perp\)ED tại I và I là trung điểm chung của AF và ED
Ta có: AEFD là hình thoi
=>EF=AD
mà AD=DC/2
nên EF=DC/2
Xét ΔEDC có
EF là đường trung tuyến
\(EF=\dfrac{CD}{2}\)
Do đó: ΔEDC vuông tại E
Xét tứ giác EIFK có
\(\widehat{EIF}=\widehat{EKF}=\widehat{IEK}=90^0\)
=>EIFK là hình chữ nhật
d: Để EIFK là hình vuông thì FI=FK
mà \(FI=\dfrac{FA}{2};FK=\dfrac{FB}{2}\)
nên FA=FB
=>ΔFAB cân tại F
Ta có: ΔFAB cân tại F
mà FE là đường trung tuyến
nên FE\(\perp\)AB
ta có: FE\(\perp\)AB
FE//AD
Do đó: AD\(\perp\)AB
18 tháng 12 2022
Bài 6:
a: Xét ΔABC có BD/BA=BM/BC
nên MD//AC
=>ME vuông góc với AB
=>E đối xứng M qua AB
b: Xét tứ giác AEBM có
D là trung điểm chung của AB và EM
MA=MB
Do đó; AEBM là hình thoi
Xét tứ giac AEMC có
AE//MC
AE=MC
Do đó: AEMC là hình bình hành
c: BM=BC/2=2cm
=>CAEBM=2*4=8cm
5 tháng 11 2017
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E là trung điểm của AB,F trung điểm của CD, I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE
a) Tứ giác AECF là hình gì ? Vì sao ?
b) Tứ giác AEFD là hình gì ? Vì sao ?
HN
30 tháng 5 2017
a) Tứ giác AEFD là hình thoi, tứ giác AECF là hình bình hành (tự chứng minh).
b) Tứ giác AECF là hình bình hành nên EN // FM. Tứ giác AECF là hình bình hành nên EM // FN. AEFD là hình thoi nên AF \(\perp\) DE.
Hình bình hành EMFN có \(\widehat{M}=90^o\) nên là hình chữ nhật.
c) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông
\(\Leftrightarrow\) ME = MF \(\Leftrightarrow\) DE = AF (vì DE = 2ME, AF = 2MF)
\(\Leftrightarrow\) Hình thoi AEFD có hai đường chéo bằng nhau
\(\Leftrightarrow\) AEFD là hình vuông \(\Leftrightarrow\) \(\widehat{A}=90^o\).
\(\Leftrightarrow\) Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.
Như vậy, hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật.
D
28 tháng 2 2017
a) bạn tự vẽ hình nhé!
Có : \(AE=BE=\frac{1}{2}AB\) (đề cho)
\(DF=CF=\frac{1}{2}DC\) (đề cho)
mà \(AB=CD\)
\(\Rightarrow\) \(AE=BE=DF=CF\)
Xét tứ giác AEFD có:
\(AE=DF\) (cmt) và AE//DF( AB//CD)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác AECF có :
AE = CF ( cmt) và AE//CF ( AB//CD)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AECF là hình bình hành
D
28 tháng 2 2017
M là giao điểm của AF và DE
\(\Rightarrow\) AM = FM=\(\frac{1}{2}AF\) ( tính chất đ/chéo hbhành) (1)
N là giao điểm của BF và CE
\(\Rightarrow\) EN = CN=\(\frac{1}{2}CE\) ( tính chất đ/chéo hbhành) (2)
Có AF = AM + FM
CE = EN + CN
mà AE = CE ( AECF là hbh)
Từ (1) và (2) suy ra MF= EN và MF//EN ( AF//CE )
\(\Rightarrow\) EMFN là hình bình hành (3)
Có AE = AD ( cùng bằng 2AB ) và AEFD là hình bình hành nên AEFD là hình thoi
\(\Rightarrow\) AF \(\perp\) DE tại M hay góc EMF = 90 độ (4)
Từ (3) và (4) suy ra : EMFN là hcn