Cho x,y,z > 0 và x+y+z+xy+yz+zx=6 .C/minh x^2 + y^2+ z^2 > hoặc = 6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
1
TN
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\frac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\frac{2\sqrt{\left(yz\right)^2}}{x}=\frac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có
\(\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}\ge\frac{2xy}{z};\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xz}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}+\frac{\left(x+y\right)\sqrt{xy}}{z}+\frac{\left(x+z\right)\sqrt{xz}}{y}\ge\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\)
Cần chứng minh \(\frac{2xy}{z}+\frac{2yz}{x}+\frac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{z}\cdot\frac{yz}{x}}=2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế ta có ĐPCM
Khi \(x=y=z\)
NM
3
AH
Akai Haruma
Giáo viên
21 tháng 7 2017
Lời giải:
Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\). Bài toán tương đương với:
\(\frac{bc(b+c)}{a}+\frac{ac(a+c)}{b}+\frac{ab(a+b)}{c}\geq 2(a^2+b^2+c^2)\)
Biến đổi ta thấy:
\(\text{VT}=a^2\left ( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right )+b^2\left ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right )+c^2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\\ \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geq 2\\ \frac{b}{c}+\frac{c}{b}\geq 2\end{matrix}\right.\Rightarrow \text{VT}\geq 2(a^2+b^2+c^2)=\text{VP}\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\Leftrightarrow x=y=z>0\)
22 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge\dfrac{2\sqrt{yz}\cdot\sqrt{yz}}{x}=\dfrac{2yz}{x}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại thì được:
\(\dfrac{2xy}{z}+\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2xz}{y}\ge2\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\)
Tiếp tục dùng AM-GM:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\ge2\sqrt{y^2}=2y\)
Tương tự rồi cộng theo vế có:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\ge x+y+z\) (đúng)
Hay ta có ĐPCM. Khi \(x=y=z\)
VD
3
T
5 tháng 8 2016
ĐẶt \(A=x^2+y^2+z^2\Rightarrow4A-12=4\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Rightarrow3A-12=\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2-3\)
\(\Rightarrow3A\ge9\Rightarrow A\ge3\)
dấu= xảy ra khi x=y=z=1
HH
0
NT
5
18 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{x^2+1}{2}+\frac{y^2+1}{2}+\frac{z^2+1}{2}+xy+yz+xz=\frac{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+3}{2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\)\(\Leftrightarrow6\le\frac{\left(x+y+z\right)^2+3}{2}\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+3\ge12\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge9\Leftrightarrow x+y+z\ge3\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(3A=\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3^2=9\)
\(\Leftrightarrow A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(x=y=z=1\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Bạn chép sai đề, đề đúng phải là \(x^2+y^2+z^2\ge3\)
Áp dụng các BĐT quen thuộc:
\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2xz+2yz\)
\(x^2+1+y^2+1+z^2+1\ge2x+2y+2z\)
Cộng vế với vế:
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+xz+yz\right)=12\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)