Question

[Naruto Uzumaki]

Cho -1<a, b, c <1 và a+b+c=0.

CMR: a^2+b^2+c^2<2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(a^2+b^2+c^2=(a+b)^2-2ab+c^2=(-c)^2-2ab+c^2=2(c^2-ab)\)

Ta xét các TH sau:

TH1: $c\geq 0$

Vì \(a,b>-1\Rightarrow (a+1)(b+1)>0\)

\(\Leftrightarrow ab+1>-(a+b)\Leftrightarrow ab+1> c\)

Mà \(1>c\geq 0\Rightarrow c\geq c^2\)

\(\Rightarrow ab+1>c^2\Rightarrow c^2-ab< 1\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2(c^2-ab)< 2(1)\)

TH2: $c< 0$

Vì $a,b< 1$ \(\Rightarrow (a-1)(b-1)>0\)

\(\Leftrightarrow ab+1>a+b\Leftrightarrow ab+1> -c\)

Mà \(-1< c< 0\Rightarrow -c>c^2\)

\(\Rightarrow ab+1>-c>c^2\Rightarrow c^2-ab< 1\Rightarrow a^2+b^2+c^2=2(c^2-ab)< 2(2)\)

Từ (1);(2) ta có đpcm.

Answer 2

[Việt Bắc Nguyễn]

#Cách Khác#

Ta thấy :

\(a,b,c\in\left(-1;1\right)\)và \(a+b+c=0\)

Theo Dirichlet \(\exists\) 2 số không âm :

Ta giả sử đó là a, b và c không dương .

Khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\le0\\b\left(b-1\right)\le0\\c\left(c+1\right)\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le-c\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le-2c< 2\)

#Kaito#