Cho x, y thỏa mãn : x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x6 + y6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 11 2016
P = x6 + y6 = (x2 + y2)(x4 - x2 y2 + y4)
= (x2 + y2)2 - 3x2 y2 \(\ge1-3×\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\)
Đạt được khi x2 = y2 = \(\frac{1}{2}\)
CM
1 tháng 11 2017
Từ giả thiết bài toán suy ra
y ≥ 0 x 2 2 ≤ - 2 x 2 + 3 x ⇔ y ≥ 0 5 x 2 - 6 x ≤ 0 ⇔ y ≥ 0 0 ≤ x ≤ 6 5
Ta có
x 2 + y 2 ≤ x 2 + - 2 x 2 + 3 x 2 = 4 x 4 - 12 x 3 + 10 x 2
Ta có f ' x = 4 x x - 1 x - 5
f ' x = 0 x = 0 x = 1 x = 5 So điều kiện, chọn x = 0 ; x = 1 ; f(0); f(1) = 2; f 6 5 = 1224 625
Vậy m a x P = 2
Đáp án D
CM
15 tháng 2 2018
Đáp án C
G T ⇔ x 2 + y − 3 x + y 2 − 4 y + 4 = 0 y 2 + x − 4 y + x 2 − 3 x + 4 = 0
có nghiệm ⇔ Δ x ≥ 0 Δ y ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 3 1 ≤ y ≤ 7 3
Và:
x y = 3 x + 4 y − x 2 − y 2 − 4 ⇒ P = 3 x 3 + 18 x 2 + 45 x − 8 ⏟ f x + − 3 y 3 + 3 y 2 + 8 y ⏟ g y
Xét hàm số f x = 3 x 3 + 18 x 2 + 45 x − 8 trên 0 ; 4 3 ⇒ max 0 ; 4 3 f x = f 4 3 = 820 9
Xét hàm số g x = − 3 y 3 + 3 y 2 + 8 y trên 1 ; 7 3 ⇒ max 1 ; 7 3 g x = f 4 3 = 80 9
Vật P ≤ max 0 ; 4 3 f x + max 1 ; 7 3 g x = 100
Dấu “=” xảy ra khi x = y = 4 3
CM
15 tháng 3 2018
Ta có: 2 x 2 + 1 2 ≥ 2 x ; 2 y 2 + 1 2 ≥ 2 y và x 2 + y 2 ≥ 2 x y
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được:
3 x 2 + y 2 + 1 ≥ 2 x + y + x y = 5 2
=> A = x 2 + y 2 ≥ 1 2
Từ đó tìm được A m i n = 1 2 <=> x = y = 1 2
CM
9 tháng 1 2018
Đáp án B
Ta có P = 2 x 3 + y 3 - 3 x y = 2 x + y x 2 - x y + y 2 - 3 x y = 2 x + y 2 - x y - 3 x y
Mặt khác x 2 + y 2 = 2 ⇔ x + y 2 - 2 x y = 2 ⇔ 2 x y = x + y 2 - 2 ≤ x + y 2 2 ⇔ - 2 ≤ x + y ≤ 2
Khi đó 2 P = 2 x + y 4 - 2 x y - 6 x y = 2 x + y 4 - x + y 2 + 2 - 3 x + y 2 - 2
= 6 + 12 x + y - 3 x + y 2 - 2 x + y 3 = f t = 6 + 12 t - 3 t 2 - 2 t 3
Với t = x + y ∈ - 2 ; 2
Xét hàm số f t = 6 + 12 t - 3 t 2 - 2 t 3 trên đoạn [-2;2] ta có
f ' t = 12 - 6 t - 6 t 2 ; f ' t = 0 ⇔ [ t = - 2 t = 1
So sánh các giá trị f(-2);f(1);f(2), ta được m a x - 2 ; 2 f t = f 1 = 13 ⇒ M = 13 2 .