1, Cho x,y>0.Cmr :\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
2, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :B=\(xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+2045\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2019
1/ Với số dương ta luôn có \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) (Cauchy hoặc quy đồng chuyển vế sẽ chứng minh được dễ dàng). Ta cần chứng minh:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (1)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\ge2\) thì (1) trở thành:
\(a^2+2\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\) (2)
Do \(a\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-1>0\\a-2\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng, vậy BĐT được chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
2/ \(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+2045\)
\(B=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y+12\right)+3\left(y^2-6y+12\right)-36+2045\)
\(B=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6y+12\right)+2009\)
\(B=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\)
Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+2\ge2\\\left(y+3\right)^2+3\ge3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow B\ge2.3+2009=2015\)
\(\Rightarrow B_{min}=2015\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-3\end{matrix}\right.\)
PG
26 tháng 2 2018
2. Có hai cách nhé
Cách 1: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36
--> P = [ 12x(x - 2) + 36 ] + xy(x - 2)(y + 6) + 3y(y + 6)
--> P = 12[x(x - 2) + 3] + y(y + 6).[x(x - 2) + 3]
--> P = [x(x - 2) + 3].[y(y + 6) + 12]
--> P = (x² - 2x + 3)(y² + 6y + 12)
--> P = [(x - 1)² + 2].[(y + 3)² + 3] ≥ 2.3 = 6 > 0
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3
Cách 2: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9
--> P = x(x - 2)[y(y - 6) + 12] + 3(y + 3)² +9
--> P = x(x - 2)[(y + 3)² + 3] + 3(y + 3)² + 9
--> P = x(x - 2)(y + 3)² + 3x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9
--> P = (y + 3)²[x(x - 2) + 3] + 3x(x - 2) + 9
--> P = (y + 3)²[(x - 1)² + 2] + 3x² - 6x + 9
--> P = (y + 3)²(x - 1)² + 2(y + 3)² + 3(x - 1)² + 6 ≥ 6
Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3
P/S: MinP = 6 > 0 ∀ x, y ∈ R --> P luôn dương ∀ x, y ∈ R
Mình nghĩ phần CM: "P luôn dương với mọi x,y thuộc R." là hơi thừa :-)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
26 tháng 2 2018
Ta có : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) (*)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\) (**)
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Vậy thì \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2=t^2-3t+2=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)
\(\ge\left(2-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0\)
Vậy bất đẳng thức (**) đúng hay bất đẳng thức (*) đúng
DT
13 tháng 6 2019
\(xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+12x^2-24x+3y^2+18y+2045.\)
\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+12\left(x^2-2x\right)+3\left(y^2+6y\right)+2045\)
\(=\left[\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+3\left(y^2+6y\right)\right]+12\left(x^2-2x+3\right)+2009.\)
\(=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6x\right)+12\left(x^2-2x+3\right)+2009\)
\(=\left(x^2-2x+3\right)\left(y^2+6x+12\right)+2009\)
\(=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\)
Ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2+2\ge2\)
\(\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\Leftrightarrow\left(y+3\right)^2+3\ge3\)
Suy ra \(B=\left[\left(x-1\right)^2+2\right]\left[\left(y+3\right)^2+3\right]+2009\ge2.3+2009=2015\)
Vậy GTNN của B=2015 khi x=1, y=-3.
NT
0
16 tháng 3 2021
\(Q=\frac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\frac{y^3}{4\left(x+2\right)}=\frac{x^3\left(x+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}+\frac{y^3\left(y+2\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2x^3+2y^3}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(xy+2x+2y+4\right)}\)
\(=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{4\left(2x+2y+8\right)}=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(x^4+y^4\ge2\sqrt{x^4y^4}=2x^2y^2\)
\(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
\(Q=\frac{x^4+y^4+2\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{8\left(x+y+4\right)}\ge\frac{2x^2y^2+2xy\left(x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{2xy\left(xy+x+y\right)}{8\left(x+y+4\right)}=\frac{8\left(x+y+4\right)}{8\left(x+y+4\right)}=1\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x=y\\xy=4\end{cases}}\Rightarrow x=y=2\)
Vậy GTNN của Q là 1 <=> x = y = 2
KN
17 tháng 3 2021
Or
\(Q-1=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2+2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-8\right)}{4\left(x+2\right)\left(y+2\right)}\ge0\)*đúng do \(x^2+y^2\ge2xy=8\)*
Do đó \(Q\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
TN
19 tháng 5 2017
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\) ta tính được \(A=\frac{1}{4}\)
Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của A
Thật vậy áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(A=Σ\frac{x^4}{\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\)
Do đó ta cần phải chứng minh \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{Σ\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)}\ge\frac{x+y+z}{4}\)
\(\Leftrightarrow4\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge\left(x+y+z\right)Σ\left(2x^3+x^2y+x^2z\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+6x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(2x^4-3x^3y-3x^3z+4x^2y^2\right)+Σ\left(2x^2y^2-2x^2yz\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x^4-3x^3y+4x^2y^2-3xy^3+y^4\right)+Σ\left(x^2z^2-2z^2xy+y^2z^2\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ\left(x-y\right)^2\left(x^2-xy+y^2\right)+Σz^2\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy \(x=y=z=\frac{1}{3}\) thì \(A_{Min}=\frac{1}{4}\)