Question

[Lê Tài Bảo Châu]

Bài 1:Có hai loại xe trọng tải 4 tấn và 11 tấn. Nếu mỗi xe chở đúng trọng tải thì cần mỗi loại mấy xe để chở hết 58 tấn hàng?

Bài 2: Cho \(A=\frac{3^3}{1}-\frac{5^3}{3}+\frac{7^3}{6}-\frac{9^3}{10}+\frac{11^3}{15}-\frac{13^3}{21}+\frac{15^3}{28}-\frac{17^3}{36}+...+\frac{199^3}{4950}\)

So sánh A với 814.

Bài 3 Năm số 1,2,3,4,5 được chia thành hai nhóm bất kì. Chứng minh rằng một trong hai nhóm luôn có hai số mà hiệu của chúng bằng một số trong nhóm đó.

Bài 4: Cho hai tam giác ABC và BCD có cạnh BC chung, A và D thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa BC, biêt rằng \(\widehat{ABC}=36^0,\widehat{CBD}=30^0,\widehat{BAD}=81^0,\widehat{CAD}=27^0.\)Tính số đo các góc của tam giác ACD.

                                                     Where is the genius?

Answer 1

[tth_new]

Bài 1 chắc như này quá!

1/Gọi số xe trọng tại 4 tấn và 11 tấn lần lượt là x;y. (\(x;y\inℕ^∗\))

Theo đề bài,ta có: \(4x+11y=58\)

Do 58 và 4x đều chia hết cho 2.Nên 11y chia hết cho 2.Suy ra y chia hết cho 2 (do 11 và 2 nguyên tố cùng nhau)

Đặt y = 2k \(\left(k\inℕ^∗\right)\)suy ra

\(4x+22k=58\Leftrightarrow2x+11k=29\Leftrightarrow x=\frac{29-11k}{2}\)

Do x > 0 nên \(11k< 29\Leftrightarrow1\le k\le2\).Do k thuộc N* nên k = 1 hoặc k = 2

Dễ thấy k = 1 là 1 nghiệm. Khi đó  \(x=\frac{29-11}{2}=9\) và y = 2

Với k = 2 thì \(x=\frac{29-11.2}{2}=\frac{7}{2}\) (loại,vì x không thuộc N*)

Vậy cần 9 xe 4 tấn và 2 xe 11 tấn.

Answer 2

[tth_new]

t làm thử bài 3,bạn bạn tự check,sai thì thôi nhé! t cx ko rành nguyên lí Dirichlet cho lắm : (

                                               Lời giải

Coi 5 số là 5 "thỏ";2 nhóm là 2 "lồng".Theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại 1 nhóm có 3 số trở lên.Thật vậy.Nếu không tồn tại nhóm nào quá 2 số thì hai nhóm sẽ chứa không quá 2 .2  = 4 số (trái với giả thiết).Tức là nhóm còn lại có chứa 2 số trở lại.

Ta giả sử rằng không có nhóm nào chứa \(\le1\) số.

Xét nhóm có 3 số: Theo nguyên lí Dirichlet,tồn tại \(\left[\frac{5}{3}\right]+1=1+1=2\) số mà hiệu của số lớn và số bé bằng hiệu giữa số lớn và số bé trong nhóm kia.Hiệu của chúng là những số trong khoảng: 1 - 4.Mà hai số này luôn thuộc 1 trong hai nhóm. Tức là tồn tại hiệu của 2 số trong một nhóm bằng một số trong nhóm đó.

Tương tự,giả sử có 1 nhóm chứa \(\le1\) số.Với nếu 1 nhóm có 0 số thì bài toán đúng. (hiển nhiên,do trong 5 số tự nhiên liên tiếp trên luôn tồn tại hai số mà hiệu chúng bằng một số trong năm số đó)

Nếu có 1 nhóm có 1 số thì nhóm kia cũng luôn tồn tại hai số có hiệu bằng một số trong nhóm đó(2) (chỗ này mình cx không chắc lắm,vì khó c/m lắm)

Từ (1) và (2) ta có đpcm.