Tìm các số nguyên tố p để \(\sqrt{1+p+p^2+p^3+p^4}\) là một số hữu tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DH
19 tháng 12 2015
Câu 2: Nếu a,b là số nguyên tố lớn hơn 3 => a,b lẻ
vì a ;b lẻ nên a;b chia 4 dư 1 hoặc 3(vì nếu dư 2 thì a ;b chẵn) đặt a = 4k +x ; b = 4m + y
với x;y = {1;3}
ta có:
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) = (4k -4m + x-y)(4k +4m +x+y) =
16(k-m)(k+m) + 4(k-m)(x+y) + 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y)
nếu x = 1 ; y = 3 và ngược lại thì x+y chia hết cho 4 và x-y chia hết cho 2
=> 16(k-m)(k+m) + 4(k-m)(x+y) + 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y) chia hết cho 8
=> a^2 - b^2 chia hết cho 8
nếu x = y thì
x-y chia hết cho 8 và x+y chia hết cho 2
=> 4(k-m)(x+y) chia hết cho 8 và 4(k+m)(x-y) + (x-y)(x+y) chia hết cho 8
=> a^2 - b^2 chia hết cho 8
vậy a^2 - b^2 chia hết cho 8 với mọi a,b lẻ (1)
ta có: a;b chia 3 dư 1 hoặc 2 => a^2; b^2 chia 3 dư 1
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3 (2)
từ (1) và (2) => a^2 -b^2 chia hết cho 24
Tick nha TFBOYS
26 tháng 10 2016
\(A=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2+4}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}+\frac{4}{\sqrt{x}-2}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-2}\)
Do A nguyên nên \(\frac{4}{\sqrt{x}-2}\) nguyên
\(\Rightarrow\sqrt{x}-2\inƯ\left(4\right)\)
Mà \(\sqrt{x}-2\ge-2\Rightarrow\sqrt{x}-2\in\left\{1;-1;2;-2;4\right\}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{3;1;4;0;6\right\}\)
\(\Rightarrow x\in\left\{9;1;16;0;36\right\}\)
Vậy \(x\in\left\{9;1;16;0;36\right\}\)
26 tháng 10 2016
bn ơi lm thế thì thành x là số nguyên mất rồi, bn xem lại giùm mình nhé
11 tháng 9 2020
Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)
Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.
Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x2
( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)
Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)
---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)
\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương
---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a
\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)
Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương
Kết luận: bla bla bla bla...... :)))
10 tháng 12 2016
Ta có : \(\left[p\left(2p+1\right)\right]^2< 4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)< \left[p\left(2p+1\right)+2\right]^2\)
Suy ra \(4\left(p^4+p^3+p^2+p+1\right)=\left[p\left(2p+1\right)+1\right]^2\) (số kẹp giữa)
Vậy \(\sqrt{p^4+p^3+p^2+p+1}=\frac{p\left(2p+1\right)+1}{2}\) là một số hữu tỉ.
14 tháng 5 2018
Ta có : \(M=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1+5}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\frac{5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+1}\)
Để M nguyên thì 5 chia hết cho \(\sqrt{x}+1\)
Nên : \(\sqrt{x}+1\inƯ\left(5\right)=\left\{-5;-1;1;5\right\}\)
Ta có bảng :
| \(\sqrt{x}+1\) | -5 | -1 | 1 | 5 |
| \(\sqrt{x}\) | -6 (loại) | -2(loại | 0 | 4 |
| x | 0 | 2 |
15 tháng 9 2017
bài có nhầm đề không bạn? vì tử = mẫu thì M=1 rồi kìa
p chẵn (loại)
p lẻ =>1+p+p2+p3+p4lẻ (1)
1+p+p2+p3+p4=(p5-1)/p chẵn do p5lẻ (2)
từ 1 và 2 suy ra p lẻ(loại)
Vậy không có số nguyên tố p nào để phép tính trên là số hữu tỉ