Cho hai số thực dương a,b thỏa mãn: a2+b2=2
Chứng minh a4+b4>= a3+b3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 8 2021
\(a^2+b^2=a^3+b^3=a^4+b^4\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(a^4+b^4\right)\)
\(\Rightarrow a^6+b^6+2a^3b^3=a^6+b^6+a^2b^4+a^4b^2\)
\(\Rightarrow2a^3b^3=a^2b^2\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Rightarrow2ab=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=0\)
\(\Rightarrow a=b\)
Thế vào \(a^2+b^2=a^3+b^3\)
\(\Rightarrow a^2+a^2=a^3+a^3\Rightarrow2a^3=2a^2\Rightarrow a=b=1\)
\(\Rightarrow a+b=2\)
HH
0
26 tháng 8 2019
a A 3 2 4 1 c b B 3 2 4 1
a, \(\widehat{B}_1=\widehat{B_3}\) đối đỉnh
\(\widehat{A}_1=\widehat{B}_1\) theo bài đầu
Do đó \(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\)
Mặt khác,ta có \(\widehat{A_1}+\widehat{A_4}=180^0\) hai góc kề bù
=> \(\widehat{A_4}=180^0-\widehat{A_1}\) \((1)\)
Và \(\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=180^0\) hai góc kề bù
=> \(\widehat{B_2}=180^0-\widehat{B_3}\) \((2)\)
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\) \((3)\)
Từ 1,2,3 ta có : \(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\)
b, \(\widehat{A_2}=\widehat{A_4}\) đối đỉnh
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) theo câu a
Do đó : \(\widehat{A_2}=\widehat{B_2};\widehat{A_1}=\widehat{A_3}\) đối đỉnh
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_3}\) câu a
Do đó \(\widehat{A_3}=\widehat{B_3}\). Mặt khác \(\widehat{B_2}=\widehat{B_4}\) hai góc đối đỉnh
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) câu a . Do đó \(\widehat{A_4}=\widehat{B_4}\)
c, \(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=180^0\) hai góc kề bù
\(\widehat{A_1}=\widehat{B_1}\) theo đầu bài
Do đó \(\widehat{A_1}+\widehat{B_2}=180^0\)
Mặt khác \(\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=180^0\) kề bù
\(\widehat{A_4}=\widehat{B_2}\) theo câu a . Do đó \(\widehat{A_4}+\widehat{B_3}=180^0\)
CM
2 tháng 4 2018
Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức ở vế trái.
=> VT = VP (đpcm)
Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\ge a+b\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\le2\left(2-ab\right)=4-2ab\)
\(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=4-2a^2b^2\)
Có: \(2a^2b^2-2ab=2ab\left(ab-1\right)\)
Lại có: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\ge2ab\Leftrightarrow1\ge ab\)
\(\Rightarrow2ab\left(ab-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow2a^2b^2\le2ab\)
\(\Leftrightarrow4-2a^2b^2\ge4-2ab\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3+b^3\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1
chỗ c/m \(a+b\le2\)có thể làm thế này nhanh hơn:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a+b\le2\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1