Cho ba số x,y,z khác 0 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\).Tính giá trị của biểu thức \(P=\frac{2017}{3}xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 3 2020
Ta có :
\(A=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
\(=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}\)
Do x + y + z = 0 => x+y = -z ; y+z = -x ; z+x = -y
\(\Rightarrow A=\frac{-z}{y}.\frac{-x}{z}.\frac{-y}{x}=\frac{\left(-1\right).xyz}{xyz}=-1\)
11 tháng 1 2021
X3 + Y3 + Z3 = 3XYZ
<=> X3 + Y3 + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X3 + Y3 ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> ( X + Y )3 - 3XY( X + Y ) + Z3 - 3XYZ = 0
<=> [ ( X + Y )3 + Z3 ] - 3XY( X + Y + Z ) = 0
<=> ( X + Y + Z )[ ( X + Y )2 - ( X + Y ).Z + Z2 - 3XY ] = 0
<=> ( X + Y + Z )( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}X+Y+Z=0\\X^2+Y^2+Z^2-XY-YZ-XZ=0\end{cases}}\)
+) X + Y + Z = 0 => \(\hept{\begin{cases}X+Y=-Z\\Y+Z=-X\\X+Z=-Y\end{cases}}\)
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(\frac{X+Y}{Y}\right)\left(\frac{Y+Z}{Z}\right)\left(\frac{X+Z}{X}\right)=\frac{-Z}{Y}\cdot\frac{-X}{Z}\cdot\frac{-Y}{X}=-1\)
+) X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ = 0
<=> 2( X2 + Y2 + Z2 - XY - YZ - XZ ) = 0
<=> 2X2 + 2Y2 + 2Z2 - 2XY - 2YZ - 2XZ = 0
<=> ( X2 - 2XY + Y2 ) + ( Y2 - 2YZ + Z2 ) + ( X2 - 2XZ + Z2 ) = 0
<=> ( X - Y )2 + ( Y - Z )2 + ( X - Z )2 = 0 (1)
DỄ DÀNG CHỨNG MINH (1) ≥ 0 ∀ X,Y,Z
DẤU "=" XẢY RA <=> X = Y = Z
KHI ĐÓ : \(M=\left(1+\frac{X}{Y}\right)\left(1+\frac{Y}{Z}\right)\left(1+\frac{Z}{X}\right)=\left(1+\frac{Y}{Y}\right)\left(1+\frac{Z}{Z}\right)\left(1+\frac{X}{X}\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
CH
1 tháng 3 2020
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:\(\frac{ }{ }\)
y+z-x/x=z+x-y/y=x+y-z/z
=y+z-x+z+x-y+x+y-z/x+y+z
=(y-y)+(z-z)-(x-x)+z+x+y/x+y+z
=0+0+0+x+y+z/x+y+z=1
\(\Leftrightarrow\)x=y=z (*)
thay (*) vào B ta có:
B=(1+x/x)(1+x/x)(1+x/x)
=2.2.2=8
21 tháng 8 2020
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(...=\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)( vì x + y + z \(\ne\)0 )
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{y+z-x}{x}=1\\\frac{z+x-y}{y}=1\\\frac{x+y-z}{z}=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}}\Rightarrow x=y=z\)
Thế x = y = z vào B ta được :
\(B=\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=2\cdot2\cdot2=8\)
7 tháng 2 2019
làm lần lượt nhá,dài dòng quá khó coi.ahihihi!
\(\frac{1-\frac{1}{\sqrt{49}}+\frac{1}{49}-\frac{1}{7\left(\sqrt{7}\right)^2}}{\frac{\sqrt{64}}{2}-\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^2-\frac{4}{343}}=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4-\frac{4}{7}+\frac{4}{49}-\frac{4}{343}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}}{4\left(1-\frac{1}{7}+\frac{1}{49}-\frac{1}{343}\right)}=\frac{1}{4}\)
NH
25 tháng 2 2020
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}-1=\frac{z+x}{y}-1=\frac{x+y}{z}-1\)
\(\Rightarrow\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=\frac{y+z+z+x+x+y}{x+y+z}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Do đó: +) \(\frac{y+z}{x}=2\)\(\Rightarrow y+z=2x\)
+) \(\frac{z+x}{y}=2\)\(\Rightarrow z+x=2y\)
+) \(\frac{x+y}{z}=2\)\(\Rightarrow x+y=2z\)
Ta có: \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{y+x}{y}.\frac{z+y}{z}.\frac{x+z}{x}=\frac{2z}{y}.\frac{2x}{z}.\frac{2y}{x}=2.2.2=8\)
NK
5 tháng 5 2019
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(=>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^3=0\)
\(=>\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3+\frac{1}{z^3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\frac{1}{z}=0\)
\(=>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\frac{1}{xy}+3.0.\frac{1}{z}=0\)(do\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\))
\(=>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}+3.\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\frac{1}{xy}=0\)\(\left(1\right)\)
Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0=>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)\(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-3\frac{1}{xyz}=0\)
\(=>\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=3\frac{1}{xyz}\)
Thay vào P ta có:
\(P=\frac{2013xyz}{3}.3.\frac{1}{xyz}=2017\)
\(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)-\frac{3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+z^3\)
\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3+\frac{1}{z^3}-\frac{3}{xy}\left(\frac{-1}{z}\right)\) (do \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{-1}{z}\))
\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left[\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right).\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}\right]+\frac{3}{xyz}\)
\(=\frac{3}{xyz}\)
\(\Rightarrow P=\frac{2017}{3}.xyz.\frac{3}{xyz}=2017\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow\frac{1}{x}=-\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right).P=\frac{2017}{3}xyz\left[-\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^3+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right]=-\frac{2017}{3}xyz\left(\frac{3}{yz^2}+\frac{3}{zy^2}\right)=-2017xyz\left(\frac{z+y}{z^2y^2}\right)=-2017\left(\frac{xyz^2+xy^2z}{y^2z^2}\right)=-2017\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}\right)=-2017x\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=-2017.\left(-\frac{1}{x}\right)x=2017\)